初中数学竞赛——圆4.四点共圆.docx

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典型例题

【例1】如图,P为△ABC内一点,D、E、F分别在BC、CA、 P、D、C、E四
点共圆,P、E、A、F四点共圆,求证: B、D、P、F四点共圆.
A
F E
P
C D B
【例2】如图7-55,在梯形ABCD中,AD∥BC,过B、C两点作一圆,AB、CD的延长线交该圆于点 E、
:A、D、E、F四点共圆.
【例3】如图,⊙O1、⊙O2相交于A、B两点,P是BA延长线上一点,割线
PCD交⊙O1于C、D,
割线PEF交⊙O2于E、F,求证:C、D、E、F四点共圆.
P
C
A
E
O1
O2
F
D
B
【例4】如图7-56,在△ABC中,AD=AE,BE与CD交于点P,DP=EP,求证:B、C、E、D四点共圆.
【例5】如图,已知△ABC是⊙O的内接三角形,⊙
O的直径BD交AC于E,AF
BD于F,延长
AF交BC于G,求证:
2
ABBGBC.
A
B
F
E
D
G
O
C
【例6】如图7-63,在□ABCD的对角线上,任取一点 P,过点P作AB、CD的公垂线 EG,又作AD、
BC的公垂线 :EF//GM.
【例7】如图7-66,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,DE⊥AC,AF⊥BD,点E、:EF//BC.
【例8】如图7-60,已知△ABC,AB、AC的垂直平分线交 AC、AB的延长线于点 F、:E、F、C、
四点共圆.
【例9】如图,已知: ABD ACD 60o, ADB :△ABC是等腰三角形.
2
A


B D
C
【例10】如图7-61,在⊙O中,AB∥CD,点P是AB的中点,CP的延长线交⊙O于点F,又点E为弧BD上任一点,:P、G、E、D四点共圆.
【例11】如图7-62,在△ABC中,∠BAC为直角,AB=AC,BM=MC,过M、C任作一圆,与 AC交于点
E,BE与圆交于 F点,求证:AF⊥BE.
【例12】如图7-64,P为△ABC外接圆一任意一点,点 P到△ABC三边的垂足分别为 D、E、F三点成
一直线.
【例13】如图7-65,在□ABCD中,过D、B两点作一圆,交平行四边形四条边 (或它们的延长线 )于点
E、F、G、:EF//GH.
【例14】如图7-67,AB为半圆的直径,弦 AC、BD相交于点 H,HP⊥:∠1=∠2.
【例15】如图7-68,四边形ABCD是正方形,点E为BC上的任一点,AE⊥EF,EF交∠:EA=EF.
【例16】在等边三角形 ABC中,D、E分别是边BC、AC上的点,且有 BD CE 1CD,连结BE、
2
AD交于点P,求证:CP AD.
A
E
P
B D C
【例17】设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直,垂足为E,证明:点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆.
【例18】证明:三角形的三条高交于一点.
【例19】已知在凸五边形
ABCDE中,BAE
3,BCCD
DE,且BCD
CDE1802,求
证:BAC
CADDAE.
A
B E
C D
【例20】如图所示,设 N是正九变形, O为其外接圆的圆心, PQ和QR是N的两相邻边, A为PQ的
中点,而B为垂直于QR的圆半径的中点,试求 AO与AB的夹角.
P
A
Q
C
O B
R
【例21】如图,已知△ABC内接于⊙O,AD、BD为⊙O的切线,作DE∥BC,交AC于E,连结EO
并延长交 BC于F,求证:BF FC.
A
D
E
O
B
F
C
【例22】如图,在凸四边形 ABCD的BC边上取E和F(点E比F更靠近点B).已知 BAE CDF
及 EAF FDE,证明: FAC EDB.
B E F C
A D
【例23】如图,在平行四边形 ABCD中, BAD为钝角,且 AE BC,AF CD.
(1)求证: A、E、C、F四点共圆;
(2)设线段BD与(1)中的圆交于 M、:BM ND.
A D
N
M F
B E C
【例24】正方形
ABCD的中心为O,面积为2009,P为正方形内的一点,且
OPB45,
PA:PB
4:5,求PB.
C
B
O
P
D
A
【例25】如图,已知△ABC中,AH是高,AT是角平分线,且 TD AB,TE AC.
求证:(1) AHD AHE;(2)BH CH.
BD CE
A
D
E
B C
T H
【例26】如图,⊙O为△ABC的外接圆, BAC 60o,H为AC、AB上高BD、CE的交点,在 BD
上取点M,使BM 、OH,求证:OM OH.
A
E
O H D
M
B C
【例27】如图,CD是eO的直径,弦
?
BC和DE交于点
AE交CD于点Q,点B是弧DE上一点,
CD,垂足为M,求证:QF∥AB.
E F

B
N
C D
Q O M
A

【例28】如图,四边形ABCD中,ABAC
AD,若CAD
76,BDC
13,则CBD
_______,
BAC__________.
A
D
B
C
【例29】已知凸四边形 ABCD, BAC 2 BDC, CAD 2 CBD,求证:AB AC AD.
A
B D
C
思维飞跃
【例30】如图,直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C,P为圆上一点,
P到AB、AC得距离分别为
4、9,试求P到BC的距离.
B
D
A
PF
O
E
C
【例31】如图,△ABC中, ACB 90o,AB边上的高线 CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分
别交于P、、QN的中点分别为 E、:EF//AB.
A
H
N FQP
E
C M B
【例32】如图,已知P是正△:
2
2
PA
ACPBPC.
A
C B