剪力图和弯矩图1(基础).doc

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x轴,。以表(a)
C(c)(b)
(1)(2)(3)≤l(4)以剪力图是平行于x轴的直线。AC段的剪力为正,故剪力图在x轴上方;BC段剪力为负,故剪力图在x轴之下,如图8-12(b)所示。
由式(2)与式(4)可知,弯矩都是x的一次方程,因此弯矩图是两段斜直线。根据式(2)、(4)拟定三点
x?0,M(x)?0Fab
lx?a,
x?l,M(x)?0M(x)?
由这三点分别作出AC段与BC段的弯矩图,如图8-12(c)。
例8-4简支梁AB受集度为q的均布载荷作用,如图8-13(a)所示,作此梁的剪力图和弯矩图。
图8-13
解(1)求支反力由载荷及支反力的对称性可知两个支反力相等,即
FA?FB?
(2)列出剪力方程和弯矩方程以梁左端A为坐标原点,选用坐标系如图所示。距原点为x的任意横截面上的剪力和弯矩分别为ql2
ql?qx20<x<l(1)
xql1M(x)?FAx?qx?x?qx2
2220≤x≤l(2)FQ(x)?FA?qx?
(3)作剪力图和弯矩图由式(1)可知,剪力图是一条斜直线,拟定其上两点后即可绘出此梁的剪力图(图8-13b)。由式(2)可知,弯矩图为二次抛物线,要多拟定曲线上的几点,才干画出这条曲线。例如
通过这几点作梁的弯矩图,如图8-13(c)所示。
由剪力图和弯矩图可以看出,在两个支座内侧的横截面上剪力为最大值:FQmax?ql2。
1Mmax?ql2
8,而在此截面上剪力FQ?0。在梁跨度中点横截面上弯矩最大
例8-5图8-14所示简支梁,跨度为l,在C截面受一集中力偶m作用。试列出梁的
FQ(x)M(x)AB剪力方程和弯矩方程,并绘出梁的剪力图和弯矩图。
图8-14
解(1)求支反力由静力平衡方程?MA(x)?0,?MB(x)?0得
FA?FB?
(2)列剪力方程和弯矩方程由于集中力m作用在C处,全梁内力不能用一种方程来表达,故以C为界,分两段列出内力方程
ml
m
l0<x≤a(1)AC段
m
M(x)?FAx?x
l0≤x<a(2)
FQ(x)?FA?
m
la≤x<l(3)BC段
m
M(x)?FAx?m?x?m
la≤x≤l(4)
FQ(x)?FA?
(3)画剪力图和弯矩图由式(1)、(3)画出剪力图,见图8-14(b);由式(2)(4)
画出弯矩图,见图8-14(c)。
二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系
F(x)F(x)
在例8-4中,若将M(x)的体现式对x取导数,就得到剪力Q。若再将Q的体现式对x取导数,则得到载荷集度q。这里所得到的成果,并不是偶尔的。事实上,在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。现从一般状况出发加以论证。
图8-15
设图8-15(a)所示简支梁,受载荷作用,其中有载荷集度为q(x)的分布载荷。q(x)是x的持续函数,规定向上为正,选用坐标系如图所示。若用坐标为x和x?dx的两个相邻横截面,从梁中取出长为dx的一段来研究,由于dx是微量,微段上的载荷集度q(x)可视为均布载荷,见图8-15(b)。
F(x)M(x),在坐标为x?dx的横截面上的内力
设坐标为x的横截面上的内力为Q和
为FQ(x)?dFQ(x)和M(x)?dM(x)。假设这些内力均为正值,且在dx微段内没有集中力和集中力偶。微段梁在上述各力作用下处在平衡。根据平衡条件?Fy?0,得
FQ(x)?[FQ(x)?dFQ(x)]?q(x)dx?0
dFQ(x)
由此导出dx?q(x)(8-1)
M?0设坐标为x?dx截面与梁轴线交点为C,由?C,得
略去二阶微量M(x)?dM(x)?M(x)?FQ(x)dx?q(x)dxdx?02q(x)dxdx2,可得
dM(x)?FQ(x)dx(8-2)
将式(8-2)对x求一阶导数,并运用式(8-1),得
d2M(x)?q(x)2dx(8-3)
F(x)M(x)之间的微分关系。公式(8-1)~(8-3)就是载荷集度q(x)、剪力Q和弯矩
它表达:
(1)横截面的剪力对x的一阶导数,等于梁在该截面的载荷集度,即剪力图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的载荷集度。
(2)横截面的弯矩对x的一阶导数,等于该截面上的剪力,即弯矩图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的剪力。
(3)横截面的弯矩对x的二阶导数,等于梁在该截面的载荷集度q(x)。由此表白弯矩图
d2M(x)?q(x)2q(x)q(x)dx的变化形式与载荷集度的正负值有关。若方向向下(负值),即<
0,弯矩图为向上凸曲线;反之,q(x)方向向上(正值),则弯矩图为向下凸曲线。根据微分关系,还可以看出剪力和弯矩有如下规律:
dFQ(x)?q(x)?0F(x)?q(x)?0dx(1)梁的某一段内无载荷作用,即,由可知,Q常量。
dM(x)?FQ(x)?0FQ(x)?0M(x)?常量,x若,剪力图为沿轴的直线,并由dx可知,
弯矩图为平行于x轴的直线。
FQ(x)x若等于常数,剪力图为平行于轴的直线,弯矩图为向上或向下倾斜的直线。
F(x)(2)梁的某一段内有均布载荷作用,即q(x)等于常数,则剪力Q是x的一次函数,
M(x)是x的二次函数。剪力图为斜直线;若q(x)为正值,斜线向上倾斜;若q(x)负弯矩
d2M(x)?q(x)2q(x)dx值,斜线向下倾斜。弯矩图为二次抛物线,当为正值,即>0时,弯矩
d2M(x)?q(x)2q(x)图为下凸曲线;当为负值,即dx<0时,弯矩图为上凸曲线。
(3)在集中力偶作用处,剪力图发生突变,突变的绝对值等于该集中力的数值。此处弯矩图由于切线斜率突变而发生转折。
(4)在集中力偶作用处,剪力图不受影响,而弯矩图发生突变,突变的绝对值等于该集中力偶的数值。
(3)根据上表,由左至右逐段画出剪力图,如图8-16(b)所示;画出弯矩图,如图8-17(c)
F?3kNMmax?
3kN?m所示,可见Qmax,。
例8-7外伸梁及其所受载荷如图8-17(a)所示,试作梁的剪力图和弯矩图。
图8-17
解按照前述使用的措施作剪力图和弯矩图时,应分段列出剪力方程及弯矩方程,然后按方程作图。现运用本节所得结论,可以不列方程而直接作图。
(1)求支反力由?MA(F)?0和?MB(F)?0可求得
FA?7kN,FB?5kN
(2)分段沿集中力作用线、均布载荷的始末端以及集中力偶所在位置进行分段。现将AE梁分为AC、CD、DB、BE四段。
(3)作剪力图
AC段在支反力FA的右侧梁截面上,剪力为7kN。截面A到截面C之间的载荷为均
F布载荷,即qAC?常数。剪力图为斜直线。算出集中力F1左侧梁截面上剪力QC左
FQC左?FA?q?AC?(7?4?1)kN?3kN
即可拟定这条斜直线,见图8-17(b)。
CD段截面C处有一集中力F1,剪力图发生突变,变化的数值等于F1。故
FQC右?FQC左?F1?(3?2)kN?1kN
从C到D剪力图又为斜直线,知
FQD左?FQD右?FQC右?q?CD?(1?4?1)kN??3kN
DB段截面D与截面B之间梁上无载荷,剪力图为水平线。
BE段截面B与截面E之间剪力图也为水平线,算出截面B右侧截面上的2kN,即可画出这一水平线。
(4)作弯矩图
AC段截面A上弯矩为零。从A到C梁上为均布载荷,且均布载荷向下,则弯矩图为上凸的抛物线。算出截面C的弯矩为FQB右?
已知A点、C点弯矩以及抛物线为上凸,即可大体画出AC段的弯矩图。
CD段由受力特性可知,从C到D弯矩图为上凸的另一抛物线。截面C的剪力突变,11MC?FA?AC?q?AC?AC?(7?4??1?4?4)kN?m?20kN?m22
故弯矩图在C点斜率也突变。在截面F上的剪力等于零,故F点为弯矩的极值点。由CD段的剪力方程可计算出F至梁左端距离为5m,故可求出截面F上弯矩的极值为
11MF?FA?AF?F1?CF?q?AF?AF?(7?5?2?1??1?5?5)kN?m??m22
M在集中力偶M0左侧截面上弯矩D左为
11MD左?FA?AD?F1?CD?q?AD?AD?(7?8?2?4??1?8?8)kN?m?16kN?m22
CCFD左D已知、及等三个截面上的弯矩,即可连成到之间的抛物线。
DB段和BE段截面D上有一集中力偶,弯矩图突变,并且变化的数值等于M0?10kN?m。因此在D右侧截面上MD右为
MD右?MD左?M0?(16?10)kN?m?6kN?m
B截面上的弯矩MB为
MB??F2?BE??2?3kN?m??6kN?m
M由于DB段的剪力图为水平直线,于是由D右和MB就拟定了这条直线。B到E之间弯
矩图也是斜直线,由于ME?0,故可画出图示斜直线。
FQ?7kNmax从所得的剪力图(图8-17b)和弯矩图(图8-17c)上,不难拟定最大剪力,
Mmax??m最大弯矩。
F?0Mmax要注意的是:不仅也许发生在Q的截面上,也有也许发生在集中力或集中
力偶作用处。因此求弯矩的最大值
Mmax时,应综合考虑上述几种也许性。
先假设M求为某一方向,(一般我是假设为逆时针,书上仿佛是把逆时针方向规定为正方向),然后对该分离体(或研究对象)列弯矩平衡方程(固然必须是在分离体弯矩平衡状况下):M总=0。
即MA+MB+MC+M求=0。(注意对于MA、MB、MC,如果是逆时针的取正值,顺时针取负值。),此时如果球出的M求为正值,则它就是逆时针的,如果是负值,那它的方向与假设方向是相反的,是顺时针。
也可以把所有顺时针的弯矩全取正值放在等号左边相加,把所有逆时针的也取正值但放在等号右边相加(其实跟上面是同样的,也是得假设M求为某一方向)列平衡方程。
那还不简朴,不同X相应不同的弯矩了,要看X等于多少了。
不懂得你的是不是构造构件上的弯矩,构造力学上梁的弯矩正负判断原则是使梁的上表面受拉的弯矩为正,反之为负。
我不懂得你的原题是什么样的,X表达的是什么。
如果X表达的是位置坐标,那么M求=AX2+BX+C表达的是构件上的弯矩分布函数,不同位置相应不同的弯矩,也就是说构件上弯矩有的地方正有的地方负,但凡求出是正值的就与假设方向或默认方向相似,反之相反。