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ϕ
23 中等数学
2006 女子数学奥林匹克
M = {1 ,2 , ⋯,19} ,
第一天
A = { a1 , a2 , ⋯, ak } M.
1. 设 a > 0 ,函数 f : (0 , + ∞) →R 满足求最小的 k ,使得对任意的 b ∈M ,存在
( ) 如果对任意正实数、有
f a = 1. x y , ai 、aj ∈A ,满足 b = ai 或 b = ai ± aj ( ai 、aj 可
a a
f ( x) f ( y) + f f = 2f ( xy) , ①以相同) . (李胜宏供题)
x y
≥
7. 设 xi > 0 ( i = 1 ,2 , ⋯, n) , k 1. 求证:
求证: f ( x) 为常数(朱华伟供题)
. n n
1 n k + 1 n
· ≤ x i 1
2. 设凸四边形 ABCD 的对角线交于点 xi · k .
∑1 + xi ∑∑∑
i = 1 i = 1 i = 1 1 + xi i = 1 xi
O. △OAD 、△OBC 的外接圆交于点 O 、M ,直
(李伟固供题)
线 OM 分别交△OAB 、△OCD 的外接圆于点
8. 设 p 为大于 3 的质数. 求证:存在若干
T、S . 求证: M 是线段 TS 的中点.
个整数 a , a , ⋯, a 满足条件
(叶中豪供题) 1 2 t
p p
求证对均有无穷多个正- < a < a < ⋯< a < ,
3. : i = 1 ,2 ,3 , 2 1 2 t 2
整数 n ,使得 n , n + 2 , n + 28 中恰有 i 个可使得乘积
表示为三个正整数的立方和
. p - a p - a p - a
1 · 2 ·⋯· t
(袁汉辉供题) | a1 | | a2 | | at |
4. 8 个人参加一次聚会. 是 3 的某个正整数次幂. (纪春岗供题)
(1) 如果其中任何 5 个人中都有 3 个人
参考答案
两两认识,求证:可以从中找出 4 个人两两认
识; 1. 在式①中令 x = y = 1 ,得
2 2 2
(2) 试问:如果其中任何 6 个人中都有 3 f (1) + f ( a) = 2f (1) , ( f (1) - 1) = 0.
个人两两认识, 那么,是否一定可以找出 4 则 f (1) = 1.
在式①中令得
个人两两认识? (苏淳供题) y = 1 ,
a
f ( x) f (1) + f f ( a) = 2f ( x) ,
第二天 x
a
f ( x) = f ( x > 0) . ②
5. 平面上整点集 x
a
在式①中取 y = ,得
S = { ( a , b) │1 ≤a , b ≤5 ( a 、b ∈Z) } , x
为平面上一整点集对中任一点总存 a a
T , S P , f ( x) f + f f ( x) = 2f ( a) ,
x x
在 T 中不同于 P 的一点 Q ,使得线段 PQ 上
a
f ( x) f = 1. ③
除点 P、Q 外无其他的整点. 问 T