定积分学案.doc

定积分
编稿:周尚达审稿:张扬责编:严春梅
目标认知
学习目标:
,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念、几何意义。
,并能用定理计算简单的定积分。
、变速直线运动的路程和变力作功等问题,在解决问题的过程中体
验定积分的价值. 
教学重点:
正确计算定积分,利用定积分求面积。
教学难点:
定积分的概念,将实际问题化归为定积分问题。
学习策略:
①运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法,理解定积分的概念。
②求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.
③求导运算与求原函数运算互为逆运算.
知识要点梳理
知识点一:定积分的概念
如果函数在区间上连续,用分点将区间分为n个小区间,在每个小区间上任取一点(i=1,2,3…,n),作和式,当时,上述和式无限趋近于某个常数,=,这里,与分别叫做积分与积分,区间叫做,函数叫做,叫做,叫做.
说明:
(1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零;
(2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限.
知识点二:定积分的几何意义
设函数在区间上连续.
在
上,当时,定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的;

在上,当时,由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方,定积分在几何上表示曲边梯形面积的;

在上,当既取正值又取负值时,曲线的某些部分在轴的上方,而其他部分在轴下方,如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号,在轴下方的图形的面积赋予负号;
在一般情形下,定积分的几何意义是曲线,两条直线与轴所围成的各部分面积的.

知识点三:定积分的性质
(1)(为常数),
(2),
(3)
(其中),
(4)利用函数的奇偶性求积分:
若函数在区间上是奇函数,则;
若函数在区间上是偶函数,则.
知识点四:微积分基本定理
微积分基本定理(或牛顿-莱布尼兹公式):
如果在上连续,且,则。其中叫做的一个原函数.
注意:
①求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函
,求导运算与求原函数运算互为逆运算.
②由于也是的原函数,其中c为常数.
知识点五:应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图,由三条直线,,轴(即直线)及一条曲线
()围成的曲边梯形的面积:


,由三条直线,,轴(即直线)及一条曲线
()围成的曲边梯形的面积:


(不妨设在区间上,
在区间上)围成的图形的面积:

=+.
4. 如图,由曲线及直线,围成图形的面积: 


知识点六:定积分在物理中的应用
①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程,等于其速度函数在时间区间上的定
积分,即.

②变力作功
物体在变力的作用下做直线运动,并且物体沿着与相同的方向从移动到
,那么变力所作的功.
规律方法指导
:
(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像;
(2)解方程组求出交点坐标,确定积分的上、下限;
(3)借助图形确定出被积函数;
(4)写出平面图形的定积分表达式;
(5)运用公式求出平面图形的面积.
经典例题精析
类型一:利用定积分的几何定义求定积分
,并根据其意义求出定积分的值。 
解析:设,则,表示半径为2的个圆,

由定积分的概念可知,表示如图所示的以2为半径的圆的面积,
所以
总结升华:利用定积分的几何意义画出相应的图形解答。
举一反三:
【变式1】由,,以及轴围成的图形的面积写成定积分是____________;
【答案】
【变式2】用定积分表示下列图形的阴影部分的面积(不计算)
(1)
 (2)
【答案】(1),(2)
【变式3】说明下列定积分所表示的几何意义,并根据其意义求出定积分的值。
(1); (2); 
【答案】
(1)设,
则表示由直线,,以及轴围成的梯形的面积,
该梯形面积为
∴。
(2)设,
则表示由直线,,以及轴围成的矩形的面积,
该矩形面积为,所以。
【变式4】利用定积分的几何定义求定积分:
(1); (2)
【答案】
(1)设,则表示个圆,
由