函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.docx

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函数对称性、周期性和奇偶性
关岭民中数学组
(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性:(奇偶性是一种特别的对称性)
1、奇偶性:(1)奇函数对于(0,0)对称,奇函数相关系式f(x)f(x)0
(2)偶函数对于y(即x=0)轴对称,偶函数相关系式f(x)f(x)
2、奇偶性的拓展:同一函数的对称性
(1)函数的轴对称:
函数
y
f(x)对于x
a对称
f(a
x)
f(a
x)
f(a
x)
f(a
x)也能够写成f(x)
f(2a
x)
或f(x)
f(2ax)
若写成:f(a
x)f(bx),则函数y
f(x)
对于直线
x
(ax)(b
x)a
b
对称
2
2
证明:设点(x1,y1)在y
f(x)上,经过f(x)
f(2ax)可知,
y1f(x1)
f(2a
x1),即点(2a
x1,y1)也在y
f(x)上,而点
(x1,y1)与点(2a
x1,y1)对于x=a对称。得证。
说明:对于x
a对称要求横坐标之和为
2a,纵坐标相等。
∵(a
x1,y1)与(a
x1,y1)对于x
a对称,∴函数y
f(x)对于xa对称
f(a
x)
f(a
x)
∵(x1,y1)与(2ax1,y1)对于xa对称,∴函数yf(x)对于xa对称
f(x)f(2ax)
∵(x1,y1)与(2ax1,y1)对于xa对称,∴函数yf(x)对于xa对称
f(x)f(2ax)
(2)函数的点对称:
函数yf(x)对于点(a,b)对称
f(a
x)
f(ax)
2b
上述关系也能够写成
f(2ax)
f(x)
2b或
f(2a
x)f(x)
2b
若写成:f(a
x)f(b
x)c,函数y
f(x)对于点(a
b,c)对称
2
2
.
.
证明:设点(x1,y1)在yf(x)上,即y1f(x1),经过f(2ax)f(x)2b
可知,f(2ax1)f(x1)2b,因此f(2ax1)2bf(x1)2by1,因此点
(2ax1,2by1)也在yf(x)上,而点(2ax1,2by1)与(x1,y1)对于(a,b)对称
得证。
说明:对于点(a,b)对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如
(ax)与(ax)之和为2a。
(3)函数yf(x)对于点yb对称:假定函数对于yb对称,即对于任一个x
值,都有两个y值与其对应,明显这不切合函数的定义,故函数自己不行能对于
yb对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现对于yb对称,比方圆
c(x,y)x2y240它会对于y=0对称。
(4)复合函数的奇偶性的性质定理:
性质1、复数函数y=f[g(x)]为偶函数,则
复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(性质2、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则

f[g(-x)]=f[g(x)]。-x)]=-f[g(x)]。f(x+a)=f(-x+a);
复合函数y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)。
性质3、复合函数y=f(x+a)为偶函数,则y=f(x)对于直线x=a轴对称。
复合函数y=f(x+a)为奇函数,则y=f(x)对于点(a,0)中心对称。
总结:x的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程
总结:x的系数一个为1,一个为-1,f(x)整理成两边,此中一个的系数是为1,
另一个为-1,存在对称中心。
总结:x的系数同为为1,拥有周期性。
(二)、两个函数的图象对称性
1、yf(x)
与y
f(x)对于X轴对称。
证明:设y
f(x)上任一点为(x1,y1)
则y1
f(x1),因此y
f(x)经过点
(x1,y1)
∵(x1,y1)与(x1,y1)对于X轴对称,∴y1
f(x1)与y
f(x)对于X轴对称.
注:换种说法:y
f(x)与yg(x)
f(x)若知足f(x)
g(x),即它们对于
.
.
0对称。
2、y
f(x)与yf(x)对于Y轴对称。
证明:设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1
f(x1),因此yf(
x)经过点(x1,y1)
∵(x1,y1)与(x1,y1)对于Y轴对称,∴yf(x)与y
f(x)对于Y轴对
称。
注:由于(x1,y1)代入yf(x)得y1f((x1))f(x1)因此yf(x)经过点
(x1,y1)
换种说法:yf(x)与yg(x)f(x)若知足f(x)g(x),即它们对于
0对称。
g(x)f((x))f(x)
3、yf(x)与yf(2ax)对于直线xa对称。
证明:设yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1),因此yf(2ax)经过点
(2ax1,y1)
∵(x1,y1)与(2ax1,y1)对于xa轴对称,∴yf(x)与yf(2ax)关
于直线xa对称。
注:换种说法:yf(x)与yg(x)f(2ax)若知足f(x)g(2ax),即它们
对于xa对称。
4、yf
(x)与y2af(x)对于直线ya对称。
证明:设
yf(x)上任一点为(x1,y1)则y1f(x1),因此y2a
f(x)经过点
(x1,2ay1)
∵(x1,y1)与(x1,2ay1)对于ya轴对称,∴yf(x)与y2af(x)对于直线
ya对称.
注:换种说法:yf(x)与y
g(x)2a
f(x)若知足f(x)
g(x)
2a,即它们
对于y
a对称。
5、y
f(x)与y
2b
f(2a
x)对于点(a,b)对称。
证明:设y
f(x)上任一点为(x1,y1)则y1
f(x1),因此y
2b
f(2a
x)经过点
(2ax1,2b
y1)
∵(x1,y1)与(2a
x1,2b
y1)对于点(a,b)对称,∴yf(x)与y
2b
f(2ax)关
.
.
于点(a,b)
对称.
注:换种说法:y
f(x)与y
g(x)
2b
f(2ax)若知足f(x)
g(2a
x)2b,
即它们对于点(a,b)
对称。
g(2a
x)
2bf(2a
(2a
x))
2b
f(x)
6、y
f(a
x)与y
f(x
b)对于直线x
a
b对称。
2
证明:设
y
f(x)上任一点为
(x1,y1)则y1
f(x1),因此y
f(a
x)经过点
(ax1,y1),y
f(bx)经过点(b
x1,y1),∵(ax1,y1)与(b
x1,y1)对于直线
x
a
b对称,
2
∴y
f(a
x)与y
f(x
b)对于直线x
a
b对称。
2
三、总规律:定义在R上的函数yfx,在对称性、周期性和奇偶性这三条性
质中,只需有两条存在,则第三条必定存在。
一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自己)
(一)、函数的周期性:对于函数yf(x),假如存在一个不为零的常数T,使得
当x取定义域内的每一个值时,都有f(xT)f(x)都建立,那么就把函数
f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。假如全部的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。
1、周期性:
(1)函数y
f(x)知足以下关系式,则
f(x)的周期为2T
A、f(xT)
f(x)B、f(xT)
1
1
或f(xT)
f(x)
f(x)
C、f(x
T)
1
f(x)或f(x
T)
1f(x)(等式右侧加负号亦建立)
2
1
f(x)
2
1f(x)
、其余情况
(2)函数y
f(x)知足
f(a
x)
f(a
x)且f(bx)
f(b
x),则可推出
f(x)
f(2ax)
f[b(2a
x
b)]
f[b
(2axb)]
f[x
2(ba)]即能够
获得y
f(x)的周期为2(b-a),即能够获得“假如函数在定义域内对于垂直于x
轴两条直线对称,则函数必定是周期函数”
.
.
(3)假如奇函数知足f
(xT)
f(x)则能够推出其周期是
2T,且能够推出对称
轴为
T
2
kT
,依据
f(x)f(x2T)
能够找出其对称中心为
x
(kz)
2
(kT,0)(k
z)(以上T
0)
假如偶函数知足f(xT)f(x)则亦能够推出周期是2T,且能够推出对称中心
为
T
2kT,0)
(k
z),依据f(x)
f(x
2T)能够推出对称轴为
(
2
x
T
2kT(k
z)(以上T0)
()假如奇函数y
f(x)知足f(Tx)f(T
x)(T0),则函数y
f(x)是
4
以4T为周期的周期性函数。假如偶函数
y
f(x)知足f(T
x)
f(T
x)
(T
0),则函数y
f(x)是以2T为周期的周期性函数。
定理1:若函数f
x
在R上知足f(a
x)
fa
x,且f(b
x)
f
b
x
(其
中a
b),则函数y
fx以2ab为周期.
定理
2:若函数fx在R上知足f(a
x)
fa
x,且f(b
x)
fb
x
(此中ab),则函数yfx以2a
b
为周期.
定理3:若函数f
x
在R上知足f(a
x)
fa
x
,且f(b
x)
f
b
x(其
中a
b),则函数y
fx以4ab为周期.
定理4:若函数f(x)的图像对于直线x=a和x=b都对称,则f(x)是周期函数,2(b-a)是它的一个周期(未必是最小正周期)。
定理5:若函数f(x)的图像对于点(a,c)和(b,c)都成中心对称,则f(x)是周期函数,2(b-a)是它的一个周期(未必是最小正周期)。
定理6:若函数f(x)对于点(a,c)和x=b都对称,则f(x)是周期,4(b-a)
是它的一个周期(未必是最小正周期)。
定理7:若函数f(x)知足f(x-a)=f(x+a)(a>0),则f(x)是周期函数,2a是它
的一个周期。
.
.
定理8
或f(x+a)=
1
或f(x+a)=-
:若函数f(x)知足f(x+a)=-f(x)(a>0)(
f(x)
1
f(x)

)则f(x)周期函数,2a是它的一个周期。
定理9:若函数f(x
a)
1
f(x)(f(x)
1,a0),则f(x)是周期函数,4a
1
f(x)
是它的一个周期。
若f(x)知足f(xa)
1
f(x)(f(x)1,a
0),则f(x)是周期函数,2a是它
1
f(x)
的一个周期。
.