计算方法-插值方法.ppt

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拉格朗日多项式/*LagrangePolynomial*/
n
i
y
x
P
i
i
n
,
...
,
0
,
)
(
=
=
求n次多项式使得
条件:无重合节点,即
n=1
已知x0,x1;y0,y1,求
使得
1
1
1
0
0
1
)
(
,
)
(
y
x
P
y
x
P
=
=
可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。
)
(
)
(
0
0
1
0
1
0
1
x
x
x
x
y
y
y
x
P
-
-
-
+
=
1
0
1
x
x
x
x
-
-
0
1
0
x
x
x
x
-
-
=y0+y1
l0(x)
l1(x)

=
=
1
0
)
(
i
i
i
y
x
l
称为拉氏基函数/*LagrangeBasis*/,
满足条件li(xj)=ij/*KroneckerDelta*/
n1
希望找到li(x),i=0,…,n使得li(xj)=ij;然后令

=
=
n
i
i
i
n
y
x
l
x
P
0
)
(
)
(
,则显然有Pn(xi)=yi。
li(x)
每个li有n个根x0…xi…xn

=
-
=
-
-
-
=
n
j
ji
j
i
n
i
i
i
x
x
C
x
x
x
x
x
x
C
x
l
0
0
)
(
)
)...(
)...(
(
)
(

-
=
=
ji
j
i
i
i
i
x
x
C
x
l
)
(
1
1
)
(
LagrangePolynomial
与有关,而与无关
节点
f
插值余项
作为的近似一定存在误差,用来表示它的截断误差,也称之为余项。下面,我们导出其具体表达形式。
【定理2】设在[a,b]上连续,在(a,b)内存在,节点,是满足插值条件()的插值多项式,则对任何,插值余项
注:通常不能确定x,而是估计,x(a,b)
将作为误差估计上限。
当f(x)为任一个次数n的多项式时,,可知,即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。
Quiz:给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,(x)的图像?
y
0
-
-
-
1

-

1
2
3
4
5
6
x
y
0
-
-
-
1

-

1
2
3
4
5
6
x
y
0
-
-
-
1

-

1
2
3
4
5
6
x
A
B
C

例:已知
分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50
并估计误差。
解:
n=1
分别利用x0,x1以及x1,x2计算
利用
这里
而
sin50=…
)
18
5
(
50
sin
1
0


p
L

外推/*extrapolation*/的实际误差
利用
sin50,
内插/*interpolation*/的实际误差
内插通常优于外推。选择要计算的x所在的区间的端点,插值效果较好。
n=2
)
18
5
(
50
sin
2
0


p
L

sin50=…
2次插值的实际误差
高次插值通常优于低次插值
但绝对不是次数越高就越好,嘿嘿……
计算机实现
Hermite插值简介
前述插值问题:要求被插函数与插值多项式在节点取
相同值,
Lagrange型插值条件
然而,实际许多问题还常常要求两曲线进一步
有共同切线——插值条件为:求一次数
求一次数
的多项式,使之满足给定的Hermite型插值条件: