内积空间的标准正交基.ppt

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(标准正交集)设X为一
内积空间,M含于X,若M中的所有元素
之间是两两正交的,就称M为一正交集;
再若M中每个元素的范数都是1,称M为
标准正交集。
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标准正交集的性质:
(1)任何标准正交集都是线性无关的。
(2)若(e1,e2,……,en)是标准正交序列,则每一个x∈Span{e1,e2,……,en}都可以唯一的表示为
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(3)对于任何线性无关的序列(xi),可以
应用格拉姆-施密特标准正交化方法得到
一个标准正交序列(ei),使得对每一个n
属于N都有
Span{e1,e2,……,en}
=Span{x1,x2,……,xn}
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(傅里叶级数)
设(en)是内积空间X中的一个标准正交系,任给x∈X,则称级数
为矢量x关于正交系(en)的傅里叶级数,<x,en>称为x关于en的傅里叶系数。
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{en}是X中的标准正交集,M
是由{en}中m个矢量张成的线性子空间,
即M=Span{e1,e2,……,em},对任意的
x∈X,级数
是x在M上的正交投影。
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而且有:
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(en)是内积空间X(无穷维
的)的标准正交系,x∈X,则有下列贝
塞尔不等式成立:
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(en)是内积空间X的标准
正交系,M=Span{e1,e2,…,en},x∈X,对任意的m维数组(α1,α2,…,αn)有
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(内积空间的完全标准正交系或标准正交基)
在内积空间X中的标准正交系(en)被称作是完全的,是指X中不存在与所有en正交的非零元素。
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(en)是希尔伯特空间X中的标准正交系,x∈X,则等式
成立的充要条件是:(en)是完全的。
上式也称为帕塞法耳等式。
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