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函数的图象
香山中学:梁升熙
你会利用图象的直观性来解决问题吗?
函数图象的四大变换
平移
对称
伸缩
翻折
2、图象变换类型:常用变换方法有四种,即平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换
(1)平移变换:分为水平平移与竖直平移
y=f(x-h)
y=f(x)-k
一、知识点及基本方法
1、画函数图象的依据:⑴解析式及定义域;⑵图象变换
y=f(x+h)
y=f(x)+k
y=f(x)
沿x轴向右平移h个单位
x x-h ( h > 0 )
y=f(x)
沿x轴向左平移h个单位
x x+h ( h > 0 )
y=f(x)
沿y轴向上平移k个单位
y y-k ( k > 0 )
y=f(x)
沿y轴向下平移k个单位
y y+k ( k > 0 )
(2)对称变换:
y=f(x)
关于y轴对称
y不变,x - x
y=f(-x)
y= - f(x)
y=f(x)
关于x轴对称
x不变, y - y
y=f(x)
关于原点对称
x - x ,y - y
y= - f(-x)
y=f(2a-x)
y=f -1 (x)
y=f(x)
关于直线y=x对称
y=f -1 (x)存在
y=f(x)
关于直线x =a对称
x 2a - x
(3)伸缩变换:
y=f(ω x)
纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)
到原来的A倍,横坐标不变
y=f(x)
y= A f( x)
y=f(ω x)
y=f(x)
纵坐标不变,横坐标伸长到原来的倍
x ωx ( 0 < ω< 1)
ω
1
y=f(x)
纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍
x ωx (ω>1)
ω
1
(4)翻折变换:分为左折与上折
y=f(x)
图象,再作其关于y轴对称图象
去掉y轴左边图象,保留y轴右边
y=f(|x|)
y= |f(x) |
y=f(x)
保留x 轴上方图象,再作
x轴下方部分关于x轴对称
二、题型训练
1、识图能力从图形中获取信息、加工信息
例1 [江西05理7]已知函数y=xf `(x)的
图象如图所示,则y=f(x)的图象大致是
Y
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2
2
1
1
-1
-1
-2
.
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x
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X
X
Y
D
1
1
2
2
-2
-1
-1
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-1
-2
1
1
2
2
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Y
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X
A
Y
B
1
1
2
2
-2
-1
-1
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X
Y
C
1
1
2
2
-1
-1
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-1
分析:根据y=F(x)= xf `(x)的图象,得F(1)= f `(1)=0, F(-1)= - f `(- 1)=0,
∴ f `(1)= f `(- 1)=0,
∴ x=1和x= - 1是f (x).
提问:本例除了从图形获取有效信息:
f `(1)= f `(- 1)=0之外,
还能获取什么有效信息?
[注:如1<x<2时,xf `(x)>0,∴ f `(x) >0,
∴ f (x)在(1,2)上是增函数]
Y
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2
2
1
1
-1
-1
-2
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x
.
X
X
Y
D
1
1
2
2
-2
-1
-1
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-1
-2
1
1
2
2
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Y
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X
A
Y
B
1
1
2
2
-2
-1
-1
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X
Y
C
1
1
2
2
-1
-1
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-1
练习1:
[]已知函数y=f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如右图,则b属于( )
A、(-∞,0) B、(0,1)
C、(1,2) D、(2,+∞)
解析:∵0、1、2是方程f(x)=0的三个根
∴f(x)=ax(x-1)( x -2)=ax3 -3ax2+2ax
又当0< x <1时,f(x) >0且 x (x-1)( x -2)>0 ∴a>0
∴b=-3a<0 故选A.
已知 f(x)=log2|x|, g(x)=-x2+2,则f(x)g(x)的图象
只能是下图中的( )
练习2:
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
D
C
解析:由f(x)g(x)是偶函数否定A、D,
当x→