求数列通项公式的几种方法.ppt

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凯里一中数学组李明科
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一、观察法
例1、数列的前四项为:11、102、1003、10004、……,则_____。
分析:
即
例2、数列的前7项为:
则
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二、公式法
1、等差、等比数列的通项公式:
等差数列:
等比数列:
2、已知数列前n项和,求通项
例3、数列
的前
项和为
分别求
.
(1)
(2)
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三、递推公式
1、累加法。
递推式为:an+1=an+f(n)(f(n)可求和)
思路::令n=1,2,…,n-1可得
a2-a1=f(1)
a3-a2=f(2)
a4-a3=f(3)
……
an-an-1=f(n-1)
将这个式子累加起来可得
an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)
∵f(n)可求和
∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)
当然我们还要验证当n=1时,a1是否满足上式
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2、累乘法
递推式为:an+1=f(n)an(f(n)要可求积)
思路:令n=1,2,…,n-1可得
a2/a1=f(1)
a3/a2=f(2)
a4/a3=f(3)
……
an/an-1=f(n-1)
将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2)…f(n-1)
∵f(n)可求积
∴an=a1f(1)f(2)…f(n-1)
当然我们还要验证当n=1时,a1是否适合上式
例5、在数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an
解:令n=1,2,…,n-1可得
a2/a1=f(1)
a3/a2=f(2)
a4/a3=f(3)
……
an/an-1=f(n-1)
将这个式子相乘后可得an/a1=2/1×3/2×4/3×…×n/(n-1)
即an=2n
当n=1时,an也适合上式
∴an=2n
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三、构造法
(1)、递推关系式为an+1=pan+q(p,q为常数)
思路:设递推式可化为an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)
故可将递推式化为an+1+x=p(an+x)
构造数列{bn},bn=an+q/(p-1)
bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}为等比数列.
故可求出bn=f(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an
例6、数列{an}中,a1=1,an=2an-1+3,
(n>1,n∈N*)求an
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(2)、递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)
思路:在an+1=pan+qn两边同时除以qn+1得
an+1/qn+1=(p/q)an/qn+1/q
构造数列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q
故可利用上类型的解法得到bn=f(n)
再将代入上式即可得an
例7已知数列满足,
求数列的通项公式。
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内容梗概
求数列通项公式的几种方法。凯里一中数学组李明科。1、等差、等比数列的通项公式:。递推式为:an+1=an+f(n)(f(n)可求和)。思路::令n=1,2,。an-an-1=f(n-1)。an-a1=f(1)+f(2)+。∴an=a1+f(1)+f(2)+。递推式为:an+1=f(n)an(f(n)要可求积)。an/an-1=f(n-1)。将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2)。∴an=a1f(1)f(2)。例5、在数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an。解:令n=1,2,。将这个式子相乘后可得an/a1=2/1×3/2×4/3×。×n/(n-1)。(1)、递推关系式为an+1=pan+q(p,q为常数)。思路:设递推式可化为an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)。故可将递推式化为an+1+x=p(an+x)。构造数列{bn},bn=an+q/(p-1)。bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}为等比数列.。故可求出bn=f(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an。例6、数列{an}中,a1=1,an=2an-1+3,
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