§初等矩阵.ppt

§5 初等矩阵
一、初等矩阵的概念和简单性质
二、矩阵的等价
一、初等矩阵的概念和简单性质
由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.
行交换得到初等矩阵
称为第一类初等矩阵(又称换法矩阵).
2、用非零数c乘E的第i 行,得到初等矩阵
称为第二类初等矩阵(又称倍法矩阵).
注倍法矩阵的特点是: ;其它元素与单位矩阵相同.
3、把E的第j 行的k倍加到第i行上,得到初等矩阵
称为第三类初等矩阵(又称消法矩阵).
注消法矩阵的特点是: ;
 其它元素与单位矩阵相同.
同样可以得到与列变换相对应的初等矩阵,这些工作
,对单位矩阵作一次列初等变换所到
、倍
法、消法初等矩阵是全部初等矩阵.
由于初等变换不改变矩阵的秩,从而把可逆矩阵E成
可逆矩阵,:
初等矩阵皆可逆,其逆矩阵是同类型的初等矩
阵,且
这里
容易验证
初等矩阵的转置还是初等矩阵,其转置矩阵是
同类型的初等矩阵,且
这里
矩阵和乘法和初等变换的关系是
设A是矩阵,对A施行一次行初等变换,就相当于A左乘s级初等矩阵,对A施行一次列初等变换,:
1) A相当于把A的i ,j两行互换; A 相当于把
A的i ,j两列互换.
2) 相当于把A的第i行乘以非零数c;A 相
当于把A的第I列乘以非零数c.
3) A相当于A的第j行乘以k加到第i行上;
A 相当于A的第i列乘以k加到第j列上.
证明只证行初等变换的情况,
于是
,
这相当于把A的两行交换.

2)
这相当于把A的第i 行乘以c.

3)
这个定理可以用八个字概括:“左行右列,首尾为主”.
二、矩阵的等价
若矩阵A经过一系列初等变换得到可以化为B,则称A与B等价的(也称A与B相抵).
注:1)矩阵的等价关系具有:反射性、对称性、传递性;
2)等价矩阵的秩相等.

设A,B是同型矩阵,则A,B等价的充要条件是:存在初等矩阵,使
.
与A等价的矩阵有许许多多,那么能否挑出一种简单矩阵,把它作为A的代表呢?