高一数学必修第一章空间几何体知识点.pdf

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:
(1)
面体的棱,棱及棱的公共点叫做多面体的顶点.
(2)由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体,叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴.
:
(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫
,两个互相平行的面叫做棱柱的底面(简称底),其余各面叫做棱柱的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧
棱,侧面及底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
(2)侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱,否则斜棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
(3)棱柱的分类:按底面的多边形的边数分,有三棱柱、四棱柱、。
(4)底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体;侧棱及底面垂直的平行六面体叫直平行六面体;底面为矩形的直平行六面
体叫长方体;底面为正方形的长方体叫正四棱柱;棱长都相等的正四棱柱叫正方体。
(5)棱柱的性质:①两底面是对应边平行的全等多边形;②侧面、对角面都是平行四边形;③侧棱平行且相等;④平行于
底面的截面是及底面全等的多边形。
:
(1)有一个面是多边形,其余各面都是有一公共点的三角形,,这个多边形面叫
做棱锥的底面或底,有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,相邻侧面的公共边叫
做棱锥的侧棱.
(2)底面是正多边形,顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥叫正棱柱。正棱柱顶点及底面中心的连线段叫正棱锥的
高;正棱锥侧面等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高。
(3)棱锥的分类:按底面的多边形的边数分,有三棱锥、四棱锥、五棱锥等.
(4)棱锥的性质:①侧面、对角面都是三角形;②平行于底面的截面及底面相似,其相似比等于顶点到截面距离及高的比
的平方.
(5)正棱锥的性质:①正棱锥各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的高,斜高和斜高在底面上的射影
组成一个直角三角形,正棱锥的高,侧棱,侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。③正棱锥的侧棱及底面所成的角都
相等。④正棱锥的侧面及底面所成的二面角都相等。
:
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱;以直角三角形的一条直角边为旋
转轴,,旋转的轴叫做圆柱的轴,垂直于轴的边旋转而成的圆面叫
第1页
做圆柱的底面,平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面,无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母
线.
:
(1)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分叫做棱台;用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,
截面和底面之间的部分叫做圆台.
(2)棱台的性质:两底面所在平面互相平行;两底面是对应边互相平行的相似多边形;侧面是梯形;侧棱的延长线相交于
一点.
(3)圆台的性质:两底面是两个半径不同的圆;轴截面是等腰梯形;任意两条母线的延长线交于一点;母线长都相等.
(4)棱台及圆台统称为台体.
:
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体,叫球体,,半圆的圆心叫做球的球心,
半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径.
:
由简单几何体(如柱、锥、台、球等)组合而成的几何体叫简单组合体.
【常见题型】
:①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个共同的公共点;③多面体
至少有四个面;④(D)个

,高为2cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.
【解】分析:画出轴截面图,设正方体的棱长为x,利用相似列关系求解.
过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面,得圆锥的轴截面
S
SEF,正方体对角面CDDC,如图所示.
11
设正方体棱长为x,则CC=x,CD2x

作SOEF于O,则SO2,OE=1,
ECODF
CCECx1(2/2)x11
ECC~EOS,∴11,即.
1SOEO21
22
∴x(cm),即内接正方体棱长为cm
22

:
(1)光由一点向外散射形成的投影称为中心投影.
第2页
(2)在一束平行光线照射下形成的投影,称为平行投影.
(3)平行投影按照投射方向是否正对着投影面,可以分为斜投影和正投影两种.
、锥、台、球的三视图:
(1)三视图的定义:正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图;侧视图:光线从几何体的左面向右面正投
影得到的投影图;俯视图:、侧视图和俯视图统称为几何
体的三视图.
(2)三视图的几何作用:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、
前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度.
:“直观图”最常用的画法是斜二测画法,由其规则能画出水平放置的直观图,其实质就是在坐标系中确定点的
:
(1)建系:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,得到直角坐标系xoy,直观图中画成斜坐标系x'o'y',两轴夹角为
45.
(2)平行不变:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段.
(3)长度规则:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.
注意:
1.“视图”“正视
图”,自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”,自上向下投影所得的图形称为“俯视图”.用这三种视图即可刻划空间
物体的几何结构,称为“三视图”.
,先把几何体的结构弄清楚,确定一个正前方,从几何体的正前方、左侧(和右侧)、正上方三个不同的方
向看几何体,画出所得到的三个平面图形,,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被
遮挡的部分用虚线表示出来.
、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等”.
,根据三视图可以得到一个精确的
空间几何体,得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸).直观图是对空间几何体的整体刻画,根据直观图的结构想象实物的形
象.
【常见题型】
,图(1)是常见的六角螺帽,试画出它的三视图.
【解】分析:画三视图之前,先把几何体的结构弄清楚,确定一个正前方,从三个
,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被遮
(1),
第3页
得到三个平面图形,绘制的三视图如下图所示.
.
【解】分析:按照斜二测画法的步骤画正方体的直观图,先画下底面,再画棱,再画上底
面.(1)画法:如图,按如下步骤完成.
第一步,在已知的直角三角形ABC中取直角边CB所在的直线为x轴,及BC垂直的直线为
y轴,画出对应的x轴和y轴,使xOy45.
1
第二步,在x轴上取O'C'BC,过C'作y'轴的平行线,取C'A'CA.
2
第三步,连接A'O',即得到该直角三角形的直观图.
(2)画法:如图,按如下步骤完成.
第一步,作水平放置的正方形的直观图ABCD,使BAD45,AB4cm,AD2cm.
第二步,过A作z轴,使BAz,C,D作z轴的平行线,在z轴及这组平行线上分别截取
AABBCCDD4cm.
第三步,连接AB,BC,CD,DA,所得图形就是正方体的直观图.
、锥体、台体的表面积及体积
:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的高(母线),S=2rl,S=2r(rl),其中
圆柱侧圆柱表
为r圆柱底面半径,l为母线长;VShr2h.
圆柱
r
:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形中心角为3600,
l
1
S=rl,S=r(rl),其中为r圆锥底面半径,ShS为底面面积,h为高)
圆锥侧圆锥表锥3
:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下底周长,侧面展开图扇环中心角为
Rr1
3600,S=(rR)l,S=(r2rlRlR2).V(S'S'SS)h(S,S'分别上、
l圆台侧圆台表台3
11
下底面积,h为高)→V(S'S'SS)h(r2rRR2)h(r、R分别为圆台上底、下底半径)
圆台33
、锥、台的表面积及体积的计算公式的关系
表面积相关公式表面积相关公式
SS2S,
棱柱全侧底圆柱S2r22rh(r:底面半径,h:高)
其中Slc全
侧侧棱长直截面周长
棱锥SSS圆锥Sr2rl(r:底面半径,l:母线长)
全侧底全
第4页
S(r'2r2r'lrl)(r:下底半径,r’:上底半径,l:
全
棱台SSSS圆台
全侧上底下底
母线长)
体积公式体积公式
1
棱柱VSh圆柱Vr2h棱台V(S'S'SS)h
底高3
111
棱锥VSh圆锥Vr2h圆台V(r'2r'rr2)h
3底高33
、椎、台之间,可以看成一个台体进行变化,当台体的上底面逐渐收缩为一个点时,它就成了锥体;当台体的上底面
11
逐渐扩展到及下底面全等时,:VShS'0V(S'S'SS)h
锥3台3
S'SVSh.
柱
【常见题型】
,5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.
【解】设圆台的母线长为l,则,圆台的上底面面积为S224,圆台的上底面面积为S5225,所以
上下
29
圆台的底面面积为SSS29.又圆台的侧面积S(25)l7l,于是7l29,即l为所求.
上下侧7
,3,6,则长方体的体积是.
【解】解析:长方体的长宽高分别为a,b,c,求出a,b,c的值,再求体积.
设长方体的长宽高分别为a,b,c,则ab2,ac3,bc6,三式相乘得(abc)236.
所以,长方体的体积为6

4
,它是球半径的函数,设球的半径为R,则球的体积VR3
球3
,它也是球半径的函数,设球的半径为R,则球的表面积为S4R2,它是
球面
球的大圆面积的4倍
,所得到的截面是一个圆.
【常见题型】
,正四棱锥PABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,
16
如果V,则球O的表面积是
PABCD3

【解】如图,正四棱锥PABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,PO及平面ABCD垂
第5页
16116
直,是棱锥的高,PO=R,S2R2,V,所以2R2R,解得R=2,则球O的表面积是16,选
ABCDPABCD333
D.
,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为6,求球的表面积和体积.
【解】分析:作出轴截面,利用勾股定理求解.
D'
A'C'
作轴截面如图所示,CC6,AC2623,
B'
D
C
AOB
设球半径为R,则R2OC2CC2(6)2(3)29
练习题A'C'
一、选择题R
1有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个()
AOC
A棱台B棱锥C棱柱D都不对
2棱长都是1的三棱锥的表面积为()
A3B23C33D43
3长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,它的8个顶点都在同一球面上,这个球的表面积是()
A25B50C125D都不对
4正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A3:1B3:2C2:3D3:3
5一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm,则球的表面积是()
2222
A8cmB12cmC16cmD20cm
6圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,则圆台较小底面的半径为()
A7B6C5D3
7下图是由哪个平面图形旋转得到的()
(1)(2)(3)(4)
A(1)B(2)C(3)D(4)
8在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积
是()
2745
ABCD
3656
9已知圆柱及圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V和V,则V:V()
1212
A1:3B1:1C2:1D3:1
10如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为()
A8:27B2:3C4:9D2:9
第6页
11有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位cm),则该几何体表面积及体积为:()
5
6
A24cm2,12cm2B15cm2,12cm2
22
C24cm,36cmD以上都不正确
12正方体的全面积为18cm2,则它的体积是()
112
A4cm3;B8cm3;Ccm3;D33cm3。
72
二、填空题
13若三个球的表面积之比是1:2:3,则它们的体积之比是_____________
14已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个长方体的对角长是___________;若长方体的
共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15,则它的体积为___________
15RtABC中,AB3,BC4,AC5,将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为____________
SS
16等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是球___正方体
17图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆成;图(2)中的三视图表示的实物为
_____________
18若圆锥的表面积为a平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径为_______________
19球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的______倍
32图(1)9
20一个直径为厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高图(2厘米则此球的半径为)_________厘
米
21已知棱台的上下底面面积分别为4、16,高为3,则该棱台的体积为___________
三、解答题
12003
22将圆心角为,面积为的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积
23有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm,求它的深度为多少
cm?
24已知圆台的上下底面半径分别是2,5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长
25如图,在四边形ABCD中,DAB900,ADC1350,AB5,CD22,AD2,求四边形ABCD
绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积
第7页
参考答案
一、选择题
1A从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断是棱台
3
2A因为四个面是全等的正三角形,则S4S43
表面积底面积4
3B长方体的对角线是球的直径,
4D正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是a
5B正方体的顶点都在球面上,则球为正方体的外接球,则232R,
6AS(r3r)l84,r7
侧面积
7A几何体是圆台上加了个圆锥,分别由直角梯形和直角三角形旋转而得
111115
8DV8V18
正方体三棱锥322226
1
9DV:V(Sh):(Sh)3:1
123
10CV:V8:27,r:r2:3,S:S4:9
121212
11A此几何体是个圆锥,r3,l5,h4,S323524
表面
二、填空题
131:22:33r:r:r1:2:3,r3:r3:r313:(2)3:(3)31:22:33
123123
146设ab2,bc3,ac6,则abc6,c3,a2,c1
15设ab3,bc5,ac15则(abc)2225,Vabc15
11
1516旋转一周所成的几何体是以BC为半径,以AB为高的圆锥,Vr2h42316
33
43V
16设VR3a3,a3V,R3,
34
17(1)4(2)圆锥
23a
18设圆锥的底面的半径为r,圆锥的母线为l,则由l2r得l2r,
3
a3a23a
而Sr2r2ra,即3r2a,r,即直径为
圆锥表333
198r2r,V8V
2121
4
2012VShr2hR3,R3642712
3
11
2128V(SSS'S')h(441616)328
33
第8页
三、解答题
22解:设扇形的半径和圆锥的母线都为l,圆锥的半径为r,则
13V3190000
:V(SSS'S')h,hh75
3SSS'S'360024001600
29
24解:(25)l(2252),l
7
:SSSS
表面圆台底面圆台侧面圆锥侧面
第9页