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目标函数
约束条件
设函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处取得满足两个约束条件的极值。 由隐函数知识,两个约束条件的方程可以确定两个一元函数y=y(x)和z=z(x)。将这两个一元函数代入目标函数,那么一元函数u=f(x,y(x),z(x))=u(x)在点x=x处取得极值。 由极值的必要条件,
另一方面,将两个一元函数y=y(x)和z=z(x)代入两个约束条件方程,得两个恒等式:
以上二式两端对x求导,得
由(1),(2),(3)式知道,以下三个梯度
在点(x,y,z)处都与向量垂直。
所以这三个梯度在点(x,y,z)处是共面的。 这就是函数u=f(x,y,z)在(x,y,z)处取得满足两个约束条件的极值的必要条件。
约束条件和
函数取得满足
即它们的混合积为零:
的极值的必要条件是:
命题
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