沪科版八年级数学下知识点总结.pdf

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沪科版八年级数学下册知识总结
一元二次方程知识点:
:a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一
元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、
b、c;其中a、b,、c可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
:一元二次方程的四种解法要求灵活运用,其中直接开平方法
虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;
因式分解法适用范围较大,且计算简便,是首选方法;配方法使用较少.
:当ax2+bx+c=0(a≠0)时,Δ=b2-4ac叫一元二次方程根的
:
Δ>0<=>有两个不等的实根;Δ=0<=>有两个相等的实根;
Δ<0<=>无实根;Δ≥0<=>有两个实根(等或不等).
:当ax2+bx+c=0(a≠0)时,如Δ≥0,有下列公式:
bb24acbc
(1)x;(2)xx,xx.
1,22a12a12a

(1)直接开平方法(也可以使用因式分解法)
①x2a(a0)解为:xa
②(xa)2b(b0)解为:xab
③(axb)2c(c0)解为:axbc
④(axb)2(cxd)2(ac)解为:axb(cxd)
(2)因式分解法:提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法
如:ax2bx0(a,b0)x(axb)0此类方程适合用提供因此,而且其中一个根为
0
x290(x3)(x3)0x23x0x(x3)0
3x(2x1)5(2x1)0(3x5)(2x1)0:.
x26x94(x3)244x212x90(2x3)20
x24x120(x6)(x2)02x25x120(2x3)(x4)0
(3)配方法
①二次项的系数为“1”的时候:直接将一次项的系数除于2进行配方,如下
所示:
PP
x2Pxq0(x)2()2q0
22
33
示例:x23x10(x)2()210
22
②二次项的系数不为“1”的时候:先提取二次项的系数,之后的方法同上:
bbb
ax2bxc0(a0)a(x2x)c0a(x)2a()2c0
a2a2a
bb2bb24ac
a(x)2c(x)2
2a4a2a4a2
1111
示例:x22x10(x24x)10(x2)22210
2222
(4)公式法:一元二次方程ax2bxc0(a0),用配方法将其变形为:
bb24ac
(x)2
2a4a2
①当b24ac0时,,方程有两个不相等的实根:
bb24ac
x
1,22a
b
②当b24ac0时,,方程有两个相等的实根:x
1,22a
③当b24ac0时,,方程没有实根。
备注:公式法解方程的步骤:
①把方程化成一般形式:一元二次方程的一般式:ax2bxc0(a0),并确定出a、b、
c
②求出b24ac,并判断方程解的情况。
bb24ac
③代公式:x(要注意符号)
1,22a
※+bx+c=0(a≠0)时,有以下等价命题::.
(以下等价关系要求会用公式bc;Δ=b2-4ac分析,不要求背记)
xx,xx
12a12a
(1)两根互为相反数b=0且Δ≥0b=0且Δ≥0;

a
(2)两根互为倒数c=1且Δ≥0a=c且Δ≥0;
a
(3)只有一个零根c=0且b≠0c=0且b≠0;

aa
(4)有两个零根c=0且b=0c=0且b=0;

aa
(5)至少有一个零根c=0c=0;
a
(6)两根异号c<0a、c异号;
a
(7)两根异号,正根绝对值大于负根绝对值c<0且b>0a、c异号且a、b异

aa
号;
(8)两根异号,负根绝对值大于正根绝对值c<0且b<0a、c异号且a、b同

aa
号;
(9)有两个正根c>0,b>0且Δ≥0a、c同号,a、b异号且Δ≥0;

aa
(10)有两个负根c>0,b<0且Δ≥0a、c同号,a、b同号且Δ≥0.

aa
:注意:当Δ<0时,二次三项式在实数范围内不能
分解.
22
ax2+bx+c=a(x-x)(x-x)或ax2+bx+c=bb4acbb4ac.
12axx
2a2a

:
x2-(x+x)x+xx=:所求出方程的系数应化为整数.
1212
--------应用题的类型题之一(设增长率为x):
(1)第一年为a,第二年为a(1+x),第三年为a(1+x)2.
(2)常利用以下相等关系列方程:第三年=第三年或第一年+第二年+第三年
=总和.
:
两边同乘最简
(1)去分母法验增根代入最简公分母(或原方程的每个分母),值0.
公分母
凑元,设元,
(2)换元法验增根代入原方程每个分母,值0.
换元.
::.
(1)代入消元法方程组中含有一个二元一次方程;
(2)分解降次法方程组中含有能分解为(())0的方程;
(1)(2)0(1)0(2)0(1)0(2)0
(3)注意:应分组为.
(3)(4)0(3)0(4)0(4)0(3)0
※:
11
(1)x2x2(xx)22xx;(xx)2(xx)24xx;x2(x)22;
12**********x
x
22
11(xx)(xx)4xx(xx)
或x2(x)22;xx12121212;
12
x2x22
(xx)(xx)4xx(xx)
12121212
11xx
x2x2(xx)22xx,12,(xx)2(xx)24xx,
121212xxxx121212
1212
|xx|(xx)24xx,xx2x2xxx(xx),
12121212121212
xxx2x2(xx)24xx
21121212等
xxxxxx
121212
x2和xx2
(2)xx21212;
12
(xx)24
12
x4x4
x4x216(1)分类为1和1
;
(3)1(或1)x3x3
x32922
x
22(2)两边平方一般不用,因为增加次数.

(4)如xsinA,xsinB且AB90时,由公式sin2Acos2A1,cosAsinB
12
可推出x2x2:x0,x0.
1212
(5)x,x若为几何图形中线段长时,可利用图形中的相等关系(例如几何定理,相似形,面积
12
等式,公式)推导出含有x,:x0,x0.
1212
(6)如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某
些线段的比,并且引入“辅助未知元k”.
(7)方程个数等于未知数个数时,一般可求出未知数的值;方程个数比未知数个数少一个时,一
般求不出未知数的值,但总可求出任何两个未知数的关系.
二次根式知识点:
知识点一:二次根式的概念
形如()的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但
必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,
等是二次根式,而,等都不是二次根式。
知识点二:取值范围:.
:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是
二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意
义。
知识点三:二次根式()的非负性
()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。
注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的
算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性
质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时
应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。
知识点四:二次根式()的性质
()
文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式
也可以反过来应用:若,则,如:,.
知识点五:二次根式的性质
文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注:
1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于
a本身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即;
2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;
3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六:与的异同点
1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,
而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,
0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有
差别的,,而
2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而
.
知识点七:二次根式的性质和最简二次根式:.
如:不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a(a≥0)、
√x+y等;
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√(x+y)^2、
√x^2+2xy+y^2等
(3)最终结果分母不含根号。
知识点八:二次根式的乘法和除法

√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)

√a·√b=√ab(a≥0,b≥0)
二次根式的乘法运算法则,用语言叙述为:两个因式的算术平方根的积,等于
这两个因式积的算术平方根。

√a÷√b=√a÷b(a≥0,b>0)
二次根式的除法运算法则,用语言叙述为:两个数的算数平方根的商,等于这
两个数商的算数平方根。
。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式叫做有理化
根式,也称有理化因式。
知识点九:二次根式的加法和减法
1同类二次根式
一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就
把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2合并同类二次根式:.
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的
进行合并。
知识点十:二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化
知识点十一:分母有理化
分母有理化有两种方法

如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b

要利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/(√a+√b)(√a-√b)=√a-√b/a-b
如图:.
注意:。
勾股定理知识总结:
:
1:勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2)
要点诠释:
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要
应用:
(1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC中,C90,则ca2b2,bc2a2,
ac2b2)
(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边
(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2:勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释:
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数
转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:
(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c;
(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直
角三角形:.
(若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则△ABC为锐角三
角形)。
(定理中a,b,c及a2b2c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边
长a,b,c满足a2c2b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边)
3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;
联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。
4:互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做
互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
5:勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
常见方法如下:
1
方法一:4SSS,4ab(ba)2c2,化简可证.
正方形EFGH正方形ABCD2
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
Aa
D
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
b
c
大正方形面积为S(ab)2a22abb2所以a2b2c2E
c
a
111BbC
方法三:S(ab)(ab),S2SS2abc2,化简得证
梯形2梯形ADEABE22:.
6:勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2b2c2中,a,b,c为
正整数时,称a,b,c为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等
③用含字母的代数式表示n组勾股数:n21,2n,n21(n2,n为正整数);
2n1,2n22n,2n22n1(n为正整数)m2n2,2mn,m2n2(mn,m,n为正整数)
二、规律方法指导
。
,可以用于解决求解直角三角形边边
关系的题目。
,这是这个知识在应用过程中易
犯的主要错误。
ba
a
cb
c
:如果三角形的三条边长a,b,c有下列关系:a2+b2c
bc
a
ab
=c2,•那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是
DC
H
否是直角三角形的判定方法.
EG
F
ba
AcB
5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运
算,通过学习加深对“数形结合”的理解.
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那:.
么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理)
四边形知识点:
一、关系结构图:
:.
二、知识点讲解:
(重点):
(1)两组对边分别平行;
DC
(2)两组对边分别相等;

ABCD是平行四边形O
(3)两组对角分别相等;

(4)对角线互相平分;
AB
(5)邻角互补.

(难点):
DC
O
AB
.
:
(1)具有平行四边形的所有通性;DCDC
因为ABCD是矩形
(2)四个角都是直角;
O
(3)对角线相等.
ABAB
(4)是轴对称图形,:.
4矩形的判定:
矩形的判定方法:(1)有一个角是直角的平行四边形;
(2)有三个角是直角的四边形;
(3)对角线相等的平行四边形;
(4).
:D
(1)具有平行四边形的所有通性;
O
因为ABCD是菱形AC
(2)四个边都相等;

(3)对角线垂直且平分对角.

B
:
D
(1)平行四边形一组邻边等

(2)四个边都相等AC

(3)对角线垂直的平行四边形

B
:DCDC
(1)具有平行四边形的所有通性;O
ABCD是正方形
(2)四个边都相等,四个角都是直角;
BAB
(3)

:
(1)平行四边形一组邻边等一个直角
四边形ABCD是正方形.
(2)菱形一个直角

(3)矩形一组邻边等

:.
名
定义性质判定面积
称
平两组对①对边平行;①定义;S=ah(a为一
边分别②对边相等;②两组对边分别相等的边长,h为这
行平行的③对角相等;四边形;条边上的高)
四边形④邻角互补;③一组对边平行且相等
四叫做平⑤对角线互相平分;的四边形;
行四边⑥是中心对称图形④两组对角分别相等的
边形。四边形;
⑤对角线互相平分的四
形边形。
有一个除具有平行四边形的性质①有三个角是直角的四S=ab(a为一
角是直外,还有:①四个角都是直边形是矩形;边长,b为另
矩
角的平角;②对角线相等的平行四一边长)
行四边②对角线相等;边形是矩形;
形
形叫做③既是中心对称图形又是③定义。
矩形轴对称图形。
有一组除具有平行四边形的性质①四条边相等的四边形①S=ah(a为
菱
邻边相外,还有是菱形;一边长,h为
等的平①四边形相等;②对角线垂直的平行四
形
这条边上的
行四边②对角线互相垂直,且每一边形是菱形;:.
形叫做条对角线平分一组对角;③定义。高);
菱形。③既是中心对称图形又是②(b、c为两
轴对称图形。条对角线的
长)
有一组具有平行四边形、矩形、菱①有一组邻边相等的矩①(a为
邻边相形的性质:①四个角是直形是正方形;
正等且有角,四条边相等;②有一个角是直角的菱
边长);
一个角②对角线相等,互相垂直平形是正方形;
②(b为对角
方是直角分,每一条对角线平分一组③定义。
线长)
的平行对角;
形四边形③既是中心对称图形又是
叫做正轴对称图形。
方形
数据的集中趋势和离散程度知识点:
知识点1:表示数据集中趋势的代表
平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数,只是描述的角度不同,
其中平均数的应用最为广泛。
知识点2:表示数据离散程度的代表
极差的定义:一组数据中最大值与最小值的差,能反映这组数据的变化范围,我们就
把这样的差叫做极差。
极差=最大值-最小值,一般来说,极差小,则说明数据的波动幅度小。
知识点3:生活中与极差有关的例子
在生活中,我们经常用极差来描述一组数据的离散程度,比如一支篮球队队员中最高
身高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。
知识点4:平均差的定义
在一组数据x,x,…,x中各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数即
12n
T=叫做这组数据的“平均差”。
“平均差”能刻画一组数据的离散程度,“平均差”越大,说明数据的离散程度越大。
知识点5:方差的定义
在一组数据x,x,…,x中,各数据与它们的平均数差的平方,它们的平均数,即
12n:.
S2=来描述这组数据的离散程度,并把S2叫做这组数据的方
差。
知识点6:标准差
方差的算术平方根,即用S=来描述这一组数据的离散
程度,并把它叫做这组数据的标准差。
知识点7:方差与平均数的性质
若x,x,…x的方差是S2,平均数是,则有
12n
①x+b,x+b…x+b的方差为S2,平均数是+b
12n
②ax,ax,…ax的方差为a2s2,平均数是a
12n
③ax+b,ax+b,…ax+b的方差为a2s2,平均数是a+b
12n