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复合函数单调性教案
教学目标
知识目标
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能力目标
培养学生的数学转化思想和构建数学建模能力。
情感目标
培养学生分析问题,解决问题的能力。
教学重点与难点
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教学过程设计
师:这节课我们将讲复合函数的单调区间,下面我们先复习一下复合函数的定义.
生:设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若AÍB,则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量.
师:.
(教师把所学过的函数均写在黑板上,中间留出写答案的地方,当学生回答得正确时,由教师将正确答案写在对应题的下边.)
(教师板书,可适当略写.)
例求下列函数的单调区间.
=kx+b(k≠0).
解当k>0时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间;当k<0时,(-∞,+∞)是这个函数的单调减区间.
= (k≠0).
解当k>0时,(-∞,0)和(0,+∞)都是这个函数的单调减区间,当k<0时,(-∞,0)和(0,+∞)都是这个函数的单调增区间.
=ax2+bx+c(a≠0).
解当a>0时(-∞,-)是这个函数的单调减区间,(-,+∞)是它的单调增区间;当a<0时(-∞,-)是这个函数的单调增区间,(-,+∞)是它的单调减区间;
=ax(a>0,a≠1).
解当a>1时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间,当0<a<1时,(-∞,+∞)是这个函数的单调减区间.
=logax(a>0,a≠1).
解当a>1时,(0,+∞)是这个函数的单调增区间,当0<a<1时,(0,+∞)是它的单调减区间.
师:我们还学过幂函数y=xn(n为有理数),由于n的不同取值情况,可使其定义域分几种情况,比较复杂,我们不妨遇到具体情况时,再具体分析.
师:我们看看这个函数y=2x2+2x+1,它显然是复合函数,它的单调性如何?
生:它在(-∞,+∞)上是增函数.
师:我猜你是这样想的,底等于2的指数函数为增函数,而此函数的定义域为(-∞,+∞),=x2+2x+1的存在,,.
(板书)
引理1 已知函数y=f[g(x)].若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数.
(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)
证明在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b.
因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,所以g(x1)<g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1<u2,且u1,u2∈(c,d).
因为函数y=f(u