2023全国卷1数学答案(同名4483).docx

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理科数学参考答案
选择题:本大题共12小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.
〔1〕D〔2〕B〔3〕C〔4〕B〔5〕A〔6〕A〔7〕D〔8〕C〔9〕C〔10〕B〔11〕A〔12〕B
二、填空题:本大题共4小题,每题5分
(13)(14)10〔15〕64〔16〕
三、解答题:解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤.
〔17〕〔本小题总分值为12分〕
解:〔I〕由及正弦定理得,,
即.
故.
可得,所以.
〔II〕由,.
又,所以.
由及余弦定理得,.
故,从而.
所以的周长为.
〔18〕〔本小题总分值为12分〕
解:〔I〕由可得,,所以平面.
又平面,故平面平面.
〔II〕过作,垂足为,由〔I〕知平面.
以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如下列图的空间直角坐标系.
由〔I〕知为二面角的平面角,故,那么,,可得,,,.
由,,所以平面.
又平面平面,故,.
由,可得平面,所以为二面角的平面角,
.从而可得.
所以,,,.
设是平面的法向量,那么
,即,
所以可取.
设是平面的法向量,那么,
.
&网
〔19〕〔本小题总分值12分〕
解:〔Ⅰ〕由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,,,,,从而
;
;
;
;
;
;
.
所以的分布列为
16
17
18
19
20
21
22
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知,,故的最小值为19.
〔Ⅲ〕记表示2台机器在购置易损零件上所需的费用〔单位:元〕.
当时,
.学科&网
当时,
.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.
20.〔本小题总分值12分〕
解:〔Ⅰ〕因为,,故,
所以,故.
又圆的标准方程为,从而,所以.
由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为:
〔〕.
〔Ⅱ〕当与轴不垂直时,设的方程为,,.
由得.
那么,.
所以.
过点且与垂直的直线:,到的距离为,所以
.故四边形的面积
.学科&网
可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.
综上,四边形面积的取值范围为.
〔21〕〔本小题总分值12分〕
解:〔Ⅰ〕.
〔i〕设,那么,只有一个零点.
〔ii〕设,那么当时,;当时,.所以在上单调递减,在上单调递增.
又,,取满足且,那么
,
故存在两个零点.
〔iii〕设,由得或.
假设,那么,故当时,,,,&网
假设,那么,故当时,;当时,.因此在单调递减,,,所以不存在两个零点.
综上,的取值范围为.
〔Ⅱ〕不妨设,由〔Ⅰ〕知,,在上单调递减,所以等价于,即.
由于,而,所以
.
设,那么.
所以当时,,而,故当时,.
从而,故.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题计分,做答时请写清题号
〔22〕〔本小题总分值10分〕选修4-1:几何证明选讲
解:〔Ⅰ〕设是的中点,连结,
因为,所以,.
在中,,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与⊙相切.
〔Ⅱ〕因为,所以不是四点所在圆的圆心,设是四点所在圆的圆心,作直线.
由得在线段的垂直平分线上,又在线段的垂直平分线上,所以.
同理可证,.所以.
〔23〕〔本小题总分值10分〕
解:⑴ 〔均为参数〕
∴ ①
∴为以为圆心,
∵
∴ 即为的极坐标方程
⑵ 学科&网
两边同乘得
即 ②
:化为普通方程为
由题意:和的公共方程所在直线即为
①—②得:,即为
∴
∴
〔24〕〔本小题总分值10分〕
解:⑴ 如下列图:
⑵
当,,解得或
当,,解得或
或
当,,解得或
或
综上,或或
,解集为