三角函数公式大全及推导过程.doc

该【三角函数公式大全及推导过程 】是由【泰山小桥流水】上传分享，文档一共【4】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【三角函数公式大全及推导过程 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。精选文档
三角函数公式大全及推导过程
一、任意角的三角函数
在角
的终边上任取一点P(x,y),记:
r
x2
y2,
..
y
x
y
正弦:sin
余弦:cos
正切:tan
r
r
x
二、同角三角函数的基本关系式
sin
,平方关系:sin
2
cos
2
1,cos
2
1
商数关系:tan
1
tan2
cos
三、引诱公式
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanα公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα公式三:
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα公式四:
利用公式二和公式三可以获取π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα
公式五:利用公式-和公式三可以获取2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanα
公式六:
±α及3±α与α的三角函数值之间的关系:
22
sin(
-α)=cosα
cos(
-α)=sinα
2
2
sin(
+α)=cosα
cos(
+α)=-sinα
2
2
sin(3
-α)=-cosα
cos(3
-α)=-sinα
2
2
sin(3
+α)=-cosα
cos(3
+α)=sinα
2
2
三、两角和差公式
sin(
)
sin
cos
cos
sin
sin(
)
sin
cos
cos
sin
.
精选文档
cos(
)
cos
cos
sin
sin
cos(
)
cos
cos
sin
sin
tan(
)
tan
tan
1
tan
tan
tan(
)
tan
tan
1
tan
tan
四、二倍角公式
sin2
2sin
cos
cos2
cos2
sin2
2cos2
112sin2
()
2tan
tan21tan2
二倍角的余弦公式()有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角)
1
cos2
2cos2
1
cos2
2sin2
1
sin2
(sin
cos
)2
1
sin2
(sin
cos)2其他公式
五、辅助角公式:
asinx
bcosx
a2
b2sin(x
)
(此中tan
b)
a
此中:角的终边所在的象限与点(a,b)所在的象限相同,(以上k∈Z)
六、其他公式:
1、正弦定理
:
a
b
c
(R为ABC外接圆半径)
sinA
sinB
2R
sinC
2、余弦定理
a2
b2
c2
2bc
cosA
b2
a2
c2
2ac
cosB
c2
a2
b2
2ab
cosC
3、三角形的面积公式
1
底
1
1
1
(两边一夹角)
SABC
高SABC
absinCbcsinA
2
casinB
2
2
2
.
精选文档
全能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*,
(由于cos^2(α)+sin^2(α)=1)
再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))
而后用α/2取代α即可。
同理可推导余弦的全能公式。正切的全能公式可经过正弦比余弦获取。
三倍角公式推导
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2s
in^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α),得:
tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα
=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)
=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))
=4cos^3(α)-3cosα
即
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
和差化积公式推导
第一,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就获取sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb因此,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就获取cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
相同的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb因此,把两式相加,我们就可以获取cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb因此我们就获取,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,两式相减我们就获取sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
.
精选文档
这样,我们就获取了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了积化和差的四个公式今后,我们只需一个变形,就可以获取和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以获取和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
.