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1987年全国硕士研究生入学一致考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5
小题,每题3
分,满分15
分.)
(1)
当x=_____________时,函数y
x
2x获取极小值.
(2)
由曲线y
lnx与两直线y
e
1x及y0所围成的平面图形的面积是
_____________.
X=1
(3)
与两直线
y
1t及x
1
y
2
z1都平行且过原点的平面方程为
1
1
1

(4)
设L为取正向的圆周x2
y2
9,则曲线积分
?
(2xy2y)dx(x24x)dy=
L
_____________.
(5)
已知三维向量空间的基底为α1
(1,1,0),α2
(1,0,1),α3(0,1,1),则向量
β(2,
0,0)在此基底下的坐标是_____________.
二、(本题满分
8分)
1
求正的常数a与b,使等式lim
x0bxsinx

xt
2
dt1建立.
0
a
t
2
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三、(本题满分7分)
(1)设f、g为连续可微函数,uf(x,xy),vg(xxy),求u,v.
xx
301
(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A2B,其中A110,求矩阵B.
014
四、(本题满分8分)
求微分方程y
6y
(9a2)y
1的通解,其中常数a0.
五、选择题(本题共4
小题,每题
3分,满分12分.)
(1)设lim
f(x)
f(a)
a处
(x
a)
2
1,则在x
xa
(A)f(x)的导数存在,且f(a)0
(B)f(x)获取极大值
(C)f(x)获取极小值
(D)f(x)的导数不存在
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s
(2)设f(x)为已知连续函数,Itt
0
依赖于s和t
(C)依赖于t、x,不依赖于s

f(tx)dx,其中t0,s0,则I的值
依赖于s、t和x
依赖于s,不依赖于t
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(3)设常数k0,则级数n1(1)nkn2n
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(A)发散
(B)绝对收敛
(C)条件收敛
(D)散敛性与k的取值相关
(4)设A为n阶方阵,且A的行列式|A|
a
0,而A*是A的陪同矩阵,则
|A*|等于
(A)a
(B)1
a
(C)an1
(D)an
六、(本题满分
10分)
求幂级数
1
n1
的收敛域,并求其和函数.
nx
n1ng2
七、(本题满分
10分)
求曲面积分
I
x(8y1)dydz
2(1
y2)dzdx4yzdxdy,
其中是由曲线f(x)
z
y1
1
y
3
绕y轴旋转一周而成的曲面
,其法向量与y
x
0
轴正向的夹角恒大于
.
2
八、(本题满分
10分)
设函数f(x)在闭区间[0,1]
上可微,关于
[0,1]
上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间
(0,1)内,且f(x)
1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)x.
九、(本题满分
8分)
问a,b为什么值时,现线性方程组
x1
x2
x3
x4
0
x2
2x3
2x4
1
x2
(a3)x3
2x4
b
3x1
2x2
x3
ax4
1
有独一解,无解,有无量多解?并求出有无量多解时的通解.
十、填空题(本题共
3小题,每题2分,满分6分.)
(1)设在一次实验中
,事件A发生的概率为
p,现进行n次独立试验,则A最少发生一次
的概率为____________;
而事件A至多发生一次的概率为
____________.
有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.
现从第1个箱子中随机地取
1个球放到第2
个箱子里,再从第2
个箱子中取出1个球,此球

2个箱子中取出的球是白球
,则从第一个箱子
中取出的球是白球的概率为
____________.
(3)已知连续随机变量
X的概率密度函数为f(x)
1
e
x22x1,则X的数学希望为
____________,X的方差为____________.
十一、(本题满分6分)
设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为
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fX(x)
1
0x1,fY(y)
e
y
y
0,求Z
2XY的概率密度函数.
0
其他
0
y
0
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1988年全国硕士研究生入学一致考试
数学(一)试卷
一、(本题共3
小题,每题5分,满分15分)
(1)
求幂级数
(x
3)n
的收敛域.
n
1
n3n
(2)
设f(x)
ex2
,f[
(x)]
1x且
(x)
0,求
(x)及其定义域.
(3)
设
为
曲
面
x2
y2
z2
1的
外
侧
,
计
算
曲
面
积分
Iòx3dydz
y3dzdx
z3dxdy.
二、填空题
(本题共
4小题,每题3
分,满分12

)
(1)
若f(t)
lim
t(1
1
)2tx,则f
(t)=_____________.
x
x
(2)
设f(x)连续且
x3
1
f(t)dt
x,则f(7)=_____________.
0
(3)
设周期为
2的周期函数,它在区间(
1,1]上定义为
f(x)
2
1
x
0,则的傅
x2
0
x
1
里叶(Fourier
)级数在x
1处收敛于_____________.
(4)
设4
阶矩阵A
[αγ,2,γ3,γ4],B
[βγ,2,γ3,γ4],其中αβγ,,2,γ3,γ4均为
4维列向
量,且已知行列式
A
4,B
1,则行列式A
B=_____________.
三、选择题(本题共
5小题,每题3
分,满分15
分.)
(1)
设f
(x)可导且f
(x0)
1,则x
0时,f(x)在x0处的微分dy是
2
(A)与
x等价的无量小
(B)与
x同阶的无量小
(C)比
x低阶的无量小
(D)比
x高阶的无量小
(2)
设
y
f(x)
是方程
y
2y
4y
0
的一个解且f(x
0
)0,f(x)
0,则函数
0
f(x)在点x0处
(A)获取极大值
(B)获取极小值
(C)某邻域内单调增加
(D)某邻域内单调减少
(3)
设地域
1:x2
y2
z2
R2,z
0,
2:x2
y2
z2
R2,x
0,y
0,z
0,则
(A)
xdv
4
dv
(B)
ydv
4
ydv
1
2
1
2
(C)
zdv
4
zdv
(D)
xyzdv4
xyzdv
1
2
1
2
(4)
设幂级数
n
1
an(x
1)n在x
1处收敛,则此级数在x
2
处
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(A)条件收敛
(C)发散

(B)绝对收敛
(D)收敛性不能够确定
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(5)n维向量组

α,α,L,α(3
12s

sn)线性没关的充要条件是
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(A)存在一组不全为零的数

k1,k2,L,ks,使

kα11

kα
22

L

kα
ss

0
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α,α,L,α中任意两个向量均线性没关
2s
α,α,L,α中存在一个向量不能够用其他向量线性表示
2s
α,α,L,α中存在一个向量都不能够用其他向量线性表示
2s
四、(本题满分
6分)
2
2
设
u
x
y
其中函数f、g拥有二阶连续导数
,求x
u
y
u.
yf(y)xg(x),
x2
xy
五、(本题满分
8分)
设函数y
y(x)满足微分方程
y3y
2y2ex,其图形在点
(0,1)
处的切线与曲线
yx2
x1
在该点处的切线重合
,求函数y
y(x).
六、(本题满分9分)
k
设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为(k0为常数,r为A质点与M之间r2
的距离),质点M沿直线y
2xx2自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点
A对
质点M的引力所作的功.
七、(本题满分6分)
1
0
0
1
0
0
已知AP
BP,其中B
0
0
0,P
2
1
0
,求A,A5.
0
0
1
2
1
1
八、(本题满分8
分)
2
0
0
2
0
0
已知矩阵A0
0
1
与B
0
y
0
相似.
0
1
x
0
0
1
求x与y.
(2)求一个满足
P1APB
的可逆阵P.
九、(本题满分
9分)
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f(x)
0,证明:在(a,b)内存在独一
的,使曲线y
f(x)与两直线y
f(
),x
a所围平面图形面积
S1是曲线y
f(x)与两直
线yf(),x
b
所围平面图形面积
S
倍.
2的3
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十、填空题(本题共3小题,每题2
分,
)
(1)设在三次独立试验中
,事件A出现的概率相等
,若已知A最少出现一次的概率等于
19,则事件A在一次试验中出现的概率是
____________.
27
(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于
6”的概率为____________.
5
(3)设随机变量X遵从均值为10,
的正态分布,已知
x
1
u2
e2
du,
()
,
(x)
2
则X落在区间(,)
内的概率为____________.
十一、(本题满分6分)
设随机变量X的概率密度函数为
fX(x)
1
x2),
求随机变量Y1
3
X的概率密
(1
度函数fY(y).
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1989年全国硕士研究生入学一致考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每题
3分,满分15分.)
(1)
已知f(3)
2,则lim
f(3
h)
f(3)=_____________.
h0
2h
设f(x)是连续函数,且f(x)
x
1
(2)
2f(t)dt,则f(x)=_____________.
0
(3)
设平面曲线L为下半圆周
y
1
x2,则曲线积分
(x2
y2)ds=_____________.
L
(4)
向量场div
u在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.
3
0
0
1
0
0
(5)
设矩阵A
1
4
0,I
0
1
0,则矩阵(A
2I)1=_____________.
0
0
3
0
0
1
二、选择题(本题共5小题,每题
3分,满分15分.)
(1)
当x0时,曲线y
xsin1
x
(A)有且仅有水平渐近线
(B)有且仅有铅直渐近线
水平渐近线,铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线
(2)
已知曲面z
4
x2
y2上点P处的切平面平行于平面
2x
2yz10,则点的
坐标是
(A)(1,
1,2)
(B)
(
1,1,2)
(C)(1,1,2)
(D)
(
1,
1,2)
(3)
设线性没关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数
,则该非齐次方程的通
解是
(A)c1y1
c2y2
y3
(B)
c1y1
c2y2
(c1
c2)y3
(C)c1y1
c2y2
(1
c1
c2)y3
(D)c1y1
c2y2
(1
c1
c2)y3
(4)
设函数f(x)
x2,0
x
1,而S(x)
bnsinn
x,
x
,其中
n1
b
1
xdx,n
1,2,3,
,
1
2
f(x)sinn
则
)
等于
n
0
L
S(
2
(A)1
(B)
1
(C)
1
(D)1
2
4
4
2
(5)
设A是n阶矩阵,
且A的行列式
A
0,则A中
(A)必有一列元素全为
0
(B)必有两列元素对应成比率
必有一列向量是其他列向量的线性组合
任一列向量是其他列向量的线性组合
三、(本题共3
小题,每题5分,满分15
分)
(1)设zf(2x
y)g(x,xy),其中函数
f(t)二阶可导,g(u,v)拥有连续二阶偏导数,
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求
2z.
xy
(2)设曲线积分
xy2dxy(x)dy与路径无关,其中
(x)具有连续的导数,且
c
(0)
0,计算
(1,1)
2dxy(x)dy的值.
xy
(0,0)
(3)计算三重积分
(x
z)dv,其中是由曲面z
x2
y2与z
1x2
y2所围
成的地域.
四、(本题满分6
分)
将函数f(x)arctan1
x展为x的幂级数.
1
x
五、(本题满分7
分)
设f(x)sinx
x
t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
(x
0
六、(本题满分7
分)
x
1cos2xdx在区间(0,
)内有且仅有两个不相同实根.
证明方程lnx
0
e
七、(本题满分6
分)
问
为什么值时,线性方程组
x1x3
4x1
x2
2x3
2
有解,并求出解的一般形式.
6x1
x2
4x3
23
八、(本题满分8
分)
假设为n阶可逆矩阵A的一个特色值,证明
1为A1的特色值.
A为A的陪同矩阵A*的特色值.
九、(本题满分9分)
设半径为R的球面
的球心在定球面
x2
y2
z2
a2(a0)上,问当R为什么值时,球
面
在定球面内部的那部分的面积最大
?
十、填空题(本题共
3小题,每题
2分,满分6分.)
(1)已知随机事件
A的概率P(A)
,
随机事件
B的概率P(B)

P(B|A),则和事件
AUB的概率P(AUB)=____________.
甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.
(3)若随机变量在(1,6)上遵从平均分布,则方程x2x10有实根的概率是
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____________.
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十一、(本题满分

6分)
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设随机变量

X与Y独立,且X

遵从均值为

1、标准差

(均方差

)为

2的正态分布

,而Y服
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从标准正态分布

.试求随机变量

Z

2X

Y3的概率密度函数

.
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1990年全国硕士研究生入学一致考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每题3
分,
)
x
t
2
(1)
过点M(1,21)且与直线
y
3t
4垂直的平面方程是_____________.
z
t
1
(2)
设a为非零常数,则lim(x
a)x=_____________.
xa
1
x
1
(3)
,则f[
f(x)]=_____________.
设函数f(x)
0x
1
2
2
dy的值等于_____________.
(4)
积分
dx
ey2
0
x
(5)
已知向量组
α1
(1,2,3,4),α2
(2,3,4,5),α3
(3,4,5,6),α4
(4,5,6,7),则该向
量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共
5小题,每题
3分,满分15
分.)
(1)
设f
(x)是连续函数,且F(x)
ex
f(t)dt,则F(x)等于
x
(A)
e
xf(e
x)f(x)
(B)
e
xf(e
x)
f(x)
(C)ex
f(ex)
f(x)
(D)ex
f(ex)
f(x)
(2)
已知函数
f(x)拥有任意阶导数
,且f
(x)[
f(x)]2,则当n为大于2的正整数时
,f(x)的n阶导数f(n)(x)是
(A)
n![
f(x)]n
1
(B)
n[f(x)]n1
(C)[f(x)]2n
(D)
n![
f(x)]2n
(3)
设a为常数
,则级数
[
sin(na)
1
2
]
n
1
n
n
(A)绝对收敛
(B)条件收敛
(C)发散
(D)收敛性与a的取值相关
(4)
已知f(x)
在x
0的某个邻域内连续
,且f(0)
0,lim
f(x)
2,则在点x0
01cosx
x
处f(x)
(A)不能导
(B)可导,且f(0)
0
(C)获取极大值
(D)获取极小值
(5)已知
、
是非齐次线性方程组
AXb
的两个不相同的解
,α1
是对应其次线性
β1
β2
、α2
方程组AX
0的基础剖析,k1、k2为任意常数,则方程组AX
b的通解(一般解)必是
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