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数值积分与数值微分
§1. 引言
1. 问题的提出
在用Newton-Leibniz公式:计算积分时往往面临下列困难:
(1) 的原函数不是初等函数,例如等;
(2) 的原函数过于复杂,不便应用Newton-Leibniz公式;
(3) 为离散形式。
2. 数值积分的基本思想——机械求积
根据积分中值定理及定积分的几何意义:
。
数值积分的基本思想是:将积分表示为在若干点处值的线性组合即
,,和分别称为求积节点、求积系数和余项。
称为求积公式。
3. 代数精度
定义1 若对于不高于次的多项式,余项,而总存在次多项式使,则称求积公式代数精度为。
4. 插值型求积公式
定义2 对及,做插值,则,,此类求积公式称为插值型求积公式。
定理1 求积公式为插值型其代数精度至少为。
证充分性。若求积公式的代数精度至少为,则
,即求积公式为插值型。
必要性。设为任意次多项式,。因为和均为过个点的次多项式,所以。从而,若求积公式为插值型,则其代数精度至少为。
§2. Newton-Cotes公式
一、Newton-Cotes公式
1. 定义
对插值型求积公式,若取等距节点, ,则,此时称求积公式为Newton-Cotes公式。
当时,称为梯形公式:;
当时,称为Simpson公式:
;
当时,称为Simpson-3/8公式:
;
当时,称为Cotes公式:
。
2. 余项。
可见,Newton-Cotes公式的代数精度为。
3. 收敛性与数值稳定性
(1) 求积公式收敛的必要条件为有界;
(2) 对较大的,Newton-Cotes公式不稳定,不宜采用。
二、复化求积法
将等分,在每个小区间上用低阶Newton-Cotes公式求得该区间的积分值,则,此方法称为复化求积法。
1. 复化梯形公式
。
2. 复化Simpson公式

。
例1 分别用复化梯形公式(n=8)和复化Simpson公式(n=4)计算。
解
x 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1
f(x) 1
;
;
。
3. 复化公式的误差
复化公式余项为。
§3. Romberg算法
复化求积公式精度较高,但需事先确定步长,缺乏灵活性。
下面介绍变步长的Romberg算法。
1. 加速收敛技巧
在用序列逼近时,若能从产生出新序列,它比更快地收敛于,此即加速收敛技巧。
例如用逼近时,
,
,
;
类似地。
此加速收敛算法称为Richardson外推算法。
2. Romberg求积法
,将步长逐次减半,得序列,分析误差可得新序列:
。
用逼近I的算法称为Romberg算法。
不难验证:
即为Simpson公式;
即为Cotes公式。
例2 用Romberg算法计算。
解计算结果见P93。
§4. 高斯型求积公式
1. 高斯公式与高斯点
定