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Companynumber:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
椭圆性质的证明与证明:
性质1、椭圆上一点P处的切线平分焦点三角形外角的证明:
x2y2
题目:已知F,F为椭圆1(ab0)的焦点,P为椭圆上一点。求证:点P
12a2b2
处的切线PT必平分,我们还得到一个重要的定理.
12
证法1设F(c,0),F(c,0),P(x,y).
1200

对椭圆方程1两边求导得,0
a2b2a2b2
b2x
∴yy
a2yM
P1
b2x14N
∴0
kky2
pT(x,y)23
00ayx
0F
1ODF2T
yy
又kk0,kk0,2
1pF2pF
1xc2xc
00
由到角公式知
b2cxa2b2b2(cxa2)b2
00,
c2xya2cycy(cxa2)cy
000000
yb2x
00
kkxca2yb2
同理tan1100.
1kkyb2xcy
11
xca2y
00
∵1,2(0,),
∴12,
又14,
∴24
证法2设F(c,0),F(c,0),P(x,y),如图1,过F、F作切线PT的垂线,垂足
120012
分别为M、N.
xxyy
∵切线PT的方程为001,则点F、F到PT的距离为
a2b212
cx
01
a2
FM,
1x2y2
00
a4b4
cx
01
FMa2cxa2
∴10
FNcx1cxa2
100
a2
∴PMF∽PNF
12
∴12,又∵14
∵24.
两种证法都是由12导出,如图,设PD为法线(即PD切线PT),则PD平
分FPF,故得如下重要定理.
12
定理在椭圆上任意一点P的法线,平分该点两条焦半径的夹角.
(到角公式)
把直线L1依逆时针方向旋转到与L2重合时所转的角,叫做L1到L2的角,简称到
=(k2-k1)/(1+k1·k2)

(1)定义:如图1,椭圆上一点与椭圆的两个焦点F,F构成的三角形PFF称之为
1212
椭圆焦点三角形.
(2)面积公式推导
解:在PFF中,设FPF,PFr,PFr,由余弦定理得
12121122
PF2PF2FF2r2r2(2c)2
cos121212
2PFPF2rry
1212P
∴rrcos2b2rr
1212
Ox
F1F2
图1
2b2
即rr,
121cos
112b2sin
∴Srrsinsinb2=b2tan.
PFF12
12221cos1cos2
x2y2
,F的椭圆1上有一点M,若MFMF0,求MFF的面
1249241212
积.
解:∵MFMF0,
12
∴MFMF,
12
90
∴Sb2tan24tan24.
MFF
1222
x2y2
1(ab0)中,F,F是它的两个焦点,B是短轴的一个端
a2b212
点,M是椭圆上异于顶点的点,求证:FBFFMF.
1212
证明:如图2,设M的纵坐标为y,
0
11
∵SFFbFFyS,
BFF2122120FMF
1212y
FBFFMFBM
∴b2tan12b2tan12,
22
FBFFMF
即tan12tan12,FOFx
2212
11
又FBF,FMF都是锐角,
212212
11图2
故FBFFMF
212212
从而有FBFFMF.
1212
性质3、双曲线焦点三角形定义及面积公式推导.
(1)定义:如图3,双曲线上一点P与双曲线的两个焦点F,F构成的三角形
12
PFF称之为双曲线焦点三角形.
12
(2)面积公式推导:
解:在PFF中,设FPF,PFr,PFr,由余弦定理得
12121122
PF2PF2FF2r2r2(2c)2
cos121212
2PFPF2rr
1212y
∴rrcosrr2b2P
1212
2b2FOFx
即rr,12
121cos
112b2sin
∴Srrsinsinb2图=b32cot.
PFF12
12221cos1cos2
例3、已知双曲线16x29y2144,设F,
12
上,PFPF32,求FPF的大小.
1212
x2y2
解:双曲线的标准方程为1,
916
11
∴SPFPFsinFPF32sinFPF16sinFPF,
PFF12121212
1222
FPF16sinFPF
从而有16sinFPF16cot12=12,
1221cosFPF
12
∴cosFPF0,
12
∴FPF90.
12
x2y2x2
例4:椭圆1与双曲线y21的公共焦点为F,F,P是两曲线的一个
62312
交点,求cosFPF的值.
12
解:在椭圆和双曲线中异算PFF面积
12

∵2tanS1cot,
PFF
2122
1
∴tan2,
22
1
1tan21
1
∴cos22.
13
1tan21
22
x2y2
开拓:从上例我们不难发现,若椭圆1(ab0)和双曲线
a2b211
11
x2y2
1(a0,b0)有公共的焦点F,F和公共点P,那么PFF的面积
a2b2221212
22
FPFFPF
Sb2tan12,又Sb2cot12,从而S2b2b2,即Sbb.
12221212
x2y2xxyy
性质4:若P(x,y)在椭圆1上,则过P的椭圆的切线方程是001.
000a2b20a2b2
证明:设P(x,y).
00

对椭圆方程1两边求导得,0
a2b2a2b2
b2xb2x
∴y∴kky0
2pT(x,y)
ay00a2y
0
b2xx2y2
由点斜式:yy0(xx),又因为P(x,y)在1上,所以
0a2y000a2b2
0
x2y2xxyy
001,整理即得:001
a2b2a2b2