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专题二等差数列巩固
——等差、等比数列是重要的、基本的数列,许多其它数列要转化成这种数列来处理,要站好这块地盘
一、明确复习目标
;
,并能用公式解决简单问题

:
:,推广:
d=,d=是点列(n,an)所在直线的斜率.
:
变式:=
:若a、b、c等差数列,则b为a与c的等差中项:2b=a+c
:设{an}是等差数列,公差为d,则
(1)m+n=p+q,则am+an=ap+aq
(2) an,an+m,an+2m……组成公差为md的等差数列.
(3) Sn, S2n-Sn, S3n-S2n……组成公差为n2d的等差数列.
(4)当n=2k-1为奇数时,Sn=nak;S奇=kak,S偶=(k-1)ak (ak=a中)
(n∈N*)
(1)定义法: an+1-an=d是常数(2)等差中项法:
(3)通项法: (4)前n项和法:
, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,
三数:, 四数
.
三、双基题目练练手
1.(2006全国Ⅱ)设是等差数列的前项和,若,则( )
(A) (B) (C) (D)
2. (2006广东) 已知等差数列共有10项,其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是( )
A 5 B 4 C 3 D 2
{an}中,a10<0,a11>0且a11>|a10|,Sn为其前n项和,则( )
A. S10小于0,S11大于0 B. S19小于0,S20大于0
C. S5小于0,S6大于0 D. S20小于0,S21大于0
4.(2006天津)已知数列、都是公差为1的等差数列,其首项分别为、,且,、.设(),则数列的前10项和等于
( )
{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15=p是一常数,则S13=
,已知,则n= .
简答:1-; 3. a11>|a10|=-a10,∴a10+a11=a1+a20>0.
∴S20=10(a1+a20)> B
4.
5. a2+a4+a15=p(常数),∴3a1+18d=p,即a7=p.
∴S13==13a7=p.
,公差为,则
四、经典例题做一做
【例1】(1)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,
求这个数列项数.
(2)等差数列的前10项的和前100项的和,求前110项的和
解(1)
,
(2)分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项与公差的两个方程.
解法一:设的首项为,公差,则
分析二:运用前n项和变式:
解法二: 为等差数列,故可设,
则
解法三:
方法提炼:本题是等差数列的基本计算,要求熟练准确.
题(1)利用了等差数列的性质和前Sn公式的特点;
题(2)法一:转化为两个基本量,是重要的方法;法二利用了前n项和公式的函数式特征.
【例2】数列{an}的前n项和为Sn=npan(n∈N*)且a1≠a2,
(1)求常数p的值;
(2)证明:数列{an}是等差数列.
分析:(1)注意讨论p的所有可能值.
(2)运用公式an= 求an.
解:(1)当n=1时,a1=pa1,若p=1时,a1+a2=2pa2=2a2,
∴a1=a2,与已知矛盾,故p≠=0.
当n=2时,a1+a2=2pa2,∴(2p-1)a2=0.
∵a1≠a2,故p=.
(2)由已知Sn=nan,a1=0.
n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1.
∴=.则=,…,=.(n≥3)
∴=n-1.∴an=(n-1)a2, an-an-1=a2. (n≥3)
又a2-a1=a2,所以从第二项起每项减去前项的差是同一常数.
故{an}是以a2为公差,以a1为首项的等差数列.
提炼拓展: 证明等差数列的方法:-an-1=d, ,=pn+q,=Pn2=qn
,8,11,…和3,7,11…都有100项,问它们有多少相同的项?并求出所相同项的和。
分析一:两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列,且公差为原来两个公差的最小公倍数。
解:设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为,则
∵数列5,8,11,…和3,7,11…的公差分别为3与4
又因为数列5,8,11,