第七章数值积分与数值微分.ppt

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数值积分
微积分基本公式:
(3)f(x)表达式未知,只有通过测量或实验得来的数据表
但是在许多实际计算问题中
(2)F(x)难求!甚至有时不能用初等函数表示。
如
(1)F(x)表达式较复杂时,计算较困难。如
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几个简单公式
矩形公式
梯形公式
基本思想:
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一般形式
数值积分公式的一般形式
求积节点
求积系数
求积公式
将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算
无需求原函数
易于计算机实现
一般地,用f(x)在[a,b]上的一些离散点ax0<x1<···<xnb
上的函数值的加权平均作为f()的近似值,可得
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代数精度
定义:如果对于所有次数不超过m的多项式f(x),公式
精确成立,但对某个次数为m+1的多项式不精确成立,则称该求积公式具有m次代数精度
将f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入,公式精确成立;
但对f(x)=xm+1不精确成立。即:
(k=0,1,…,m)
代数精度的验证方法
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举例
例:试确定Ai,使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度
解:
将f(x)=1,x,x2,…,xn代入求积公式,使其精确成立,得
……
存在唯一解:
所以求积公式为:
具有至少n阶代数精度
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举例
例:试确定系数Ai,使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度,并求出此求积公式的代数精度。
解:
将f(x)=1,x,x2代入求积公式,使其精确成立,可得
解得A0=1/3,A1=4/3,A2=1/3。所以求积公式为
易验证该公式对f(x)=x3也精确成立,但对f(x)=x4不精确成立,所以此求积公式具有3次代数精度。
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举例
例:试确定下面求积公式中的系数,使其具有尽可能高的代数精度。
将f(x)=x3代入,等号不成立,故公式具有2次代数精度。
解:
将f(x)=1,x,x2代入求积公式,使其精确成立,可得
解得A0=2/3,A1=1/3,B0=1/6。所以求积公式为
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代数精度
容易验证:
左矩形公式和右矩形公式具有零次代数精度
中矩形公式和梯形公式具有一次代数精度
特别地,任意具有m(0)次代数精度的求积公式一定满足:
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插值型求积公式
设求积节点为:ax0<x1<···<xnb
若f(xi)已知,则可做n次多项式插值:
其中
插值型求积公式
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