第七章数值积分与数值微分.ppt

*第七章数值积分与数值微分数值分析——基本概念*数值积分微积分基本公式:(3)f(x)表达式未知,只有通过测量或实验得来的数据表但是在许多实际计算问题中(2)F(x)难求!甚至有时不能用初等函数表示。如(1)F(x)表达式较复杂时,计算较困难。如*几个简单公式矩形公式梯形公式基本思想:*一般形式数值积分公式的一般形式求积节点求积系数求积公式将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算无需求原函数易于计算机实现一般地,用f(x)在[a,b]上的一些离散点ax0<x1<···<xnb上的函数值的加权平均作为f()的近似值,可得*代数精度定义:如果对于所有次数不超过m的多项式f(x),公式精确成立,但对某个次数为m+1的多项式不精确成立,则称该求积公式具有m次代数精度将f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入,公式精确成立;但对f(x)=xm+1不精确成立。即:(k=0,1,…,m)代数精度的验证方法*举例例:试确定Ai,使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度解:将f(x)=1,x,x2,…,xn代入求积公式,使其精确成立,得……存在唯一解:所以求积公式为:具有至少n阶代数精度*举例例:试确定系数Ai,使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度,并求出此求积公式的代数精度。解:将f(x)=1,x,x2代入求积公式,使其精确成立,可得解得A0=1/3,A1=4/3,A2=1/3。所以求积公式为易验证该公式对f(x)=x3也精确成立,但对f(x)=x4不精确成立,所以此求积公式具有3次代数精度。*举例例:试确定下面求积公式中的系数,使其具有尽可能高的代数精度。将f(x)=x3代入,等号不成立,故公式具有2次代数精度。解:将f(x)=1,x,x2代入求积公式,使其精确成立,可得解得A0=2/3,A1=1/3,B0=1/6。所以求积公式为*代数精度容易验证:左矩形公式和右矩形公式具有零次代数精度中矩形公式和梯形公式具有一次代数精度特别地,任意具有m(0)次代数精度的求积公式一定满足:*插值型求积公式设求积节点为:ax0<x1<···<xnb若f(xi)已知,则可做n次多项式插值:其中插值型求积公式