数值分析第七章数值积分与数值微分.ppt

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第七章数值积分与数值微分
数值分析
——基本概念
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数值积分
微积分基本公式:
(3) f (x) 表达式未知,只有通过测量或实验得来的数据表
但是在许多实际计算问题中
(2) F(x) 难求!甚至有时不能用初等函数表示。
如
(1) F(x) 表达式较复杂时,计算较困难。如
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几个简单公式
矩形公式
梯形公式
基本思想:
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一般形式
数值积分公式的一般形式
求积节点
求积系数
求积公式
将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算
无需求原函数
易于计算机实现
一般地,用 f(x) 在[a, b] 上的一些离散点 a  x0 < x1 < ··· < xn  b
上的函数值的加权平均作为 f () 的近似值,可得
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代数精度
定义:如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f (x) ,公式
精确成立,但对某个次数为 m +1 的多项式不精确成立,则称该求积公式具有 m 次代数精度
将 f (x) = 1, x, x2, …, xm 依次代入,公式精确成立;
但对 f (x) = xm+1 不精确成立。即:
( k = 0, 1, …, m )
代数精度的验证方法
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举例
例:试确定 Ai ,使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度
解:
将 f (x)= 1, x, x2, …, xn 代入求积公式,使其精确成立,得
……
存在唯一解:
所以求积公式为:
具有至少 n 阶代数精度
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举例
例:试确定系数 Ai ,使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度,并求出此求积公式的代数精度。
解:
将 f (x)=1, x, x2 代入求积公式,使其精确成立,可得
解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求积公式为
易验证该公式对 f (x)=x3 也精确成立,但对 f (x)=x4 不精确成立,所以此求积公式具有 3 次代数精度。
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举例
例:试确定下面求积公式中的系数,使其具有尽可能高的代数精度。
将 f (x)=x3 代入,等号不成立,故公式具有 2 次代数精度。
解:
将 f (x)=1, x, x2 代入求积公式,使其精确成立,可得
解得 A0 =2/3, A1 = 1/3, B0 =1/6。所以求积公式为
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代数精度
容易验证:
左矩形公式和右矩形公式具有零次代数精度
中矩形公式和梯形公式具有一次代数精度
特别地,任意具有 m ( 0 ) 次代数精度的求积公式一定满足:
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插值型求积公式
设求积节点为:a  x0 < x1 < ··· < xn  b
若 f (xi) 已知,则可做 n 次多项式插值:
其中
插值型求积公式