数值分析--第4章 数值积分与数值微分.ppt

数值分析--第4章 数值积分与数值微分.ppt 牛顿- ,对于积分,)(??badxxfI只要找到被积函数的原函数,便有下列牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式:)(xf)(xF).()()(aFbFdxxfba???但对于下列情形:3(1)被积函数,诸如等,找不到用初等函数表示的原函数,或者即使能求得原函数但原函数的表达式非常复杂,计算困难;2e),0(sinxxxx??(2)当是由测量或数值计算给出的一张数据表时,牛顿-莱布尼兹公式也不能直接运用. )(xf因此有必要研究积分的数值计算问题. 由积分中值定理知,在积分区间内存在一点ξ,成立],[ba),()()(?fabdxxfba???4就是说,底为而高为的矩形面积恰等于所求ab?)(?f曲边梯形的面积(图4-1).I图4-15问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的,因而难以准确算出的值.)(?f将称为区间上的平均高度. )(?f],[ba这样,只要对平均高度提供一种算法,相应地便)(?“高度“与的算术平均作为平均高度的近似值,这样导出的求积公式)(af)(bf)(?f)]()([2)(bfafabdxxfba????()是梯形公式(几何意义参看图4-2). 6图4-2用区间中点的“高度”近似地取代平均高度,则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式) 2bac??)(cf)(?f).2()()(bafabdxxfba????()7一般地,可以在区间上适当选取某些节点,],[bakx然后用加权平均得到平均高度的近似值,)(kxf)(?f,)()(0????nkkkbaxfAdxxf()式中称为求积节点;称为求积系数,,而不依赖于被积函数的具体形式. kAkx这样构造出的求积公式具有下列形式:kAkx)(xf8这类数值积分方法通常称为机械求积,其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算,这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难. ,但对于次多项式就不准确成立,1?m则称该求积公式具有次代数精度. m梯形公式()和矩形公式()均具有一次代数精度. 数值求积是近似方法,为保证精度,????nkkabA0,欲使求积公式()具有次代数精度,则只要令它m对都准确成立,就得到mxxf,,2,1)(??()??????????????????nkmmmkkabmxA011).(11??????????nkkkabxA022),(21,)()(0????nkkkbaxfAdxxf()