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知识点——余弦定理
余弦定理
【定义】
余弦定理,是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定,是勾股定理在一般三角形情形下的推广.
余弦定理
【要点诠释】
如下图所示,在△ABC中,余弦定理可表示为:
余弦定理
【公式推导】
当∠C为锐角时,作BD⊥AC于D,BD把△ABC分成两个直角三角形:
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2;
在Rt△BDC中,BD=BC·sinC=asinC,DC=BC·cosC=acosC.
所以,AB2=AD2+BD2化为
c2=(b-acosC)2+(asinC)2,
c2=b2-2abcosC+a2cos2C+a2sin2C,
c2=a2+b2-2abcosC.
余弦定理
【公式推导】
我们可以看出∠C为锐角时,△ABC的三边a,b,c具有c2=a2+b2-2abcosC 的关系.
从以上分析过程,我们对∠,∠C为锐角时有c2=a2+b2-2abcosC,.
余弦定理
【公式推导】
当∠C为钝角时,作BD⊥AC,交AC的延长线于D.
△ACB是两个直角三角形之差.
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2.
在Rt△BCD中,∠BCD=π-C.
BD=BC·sin(π-C),CD=BC· cos(π-C).
余弦定理
【公式推导】
所以AB2=AD2+BD2化为
c2=(AC+CD)2+BD2=[b+acos(π-C)]2+[asin(π-C)]2
=b2+2abcos(π-C)+a2cos2(π-C)+a2sin2(π- C)= b2+2abcos(π-C)+a2.
因为cos(π-C)=-cosC,所以c2=b2+a2-2abcosC.
余弦定理
【典型例题】
余弦定理
【变式训练】
已知△ABC的三个内角满足2B=A+C,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为________.