常用放缩方法技巧.doc

常用放缩方法技巧
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
⑴添加或舍去一些项,如:;
⑵将分子或分母放大(或缩小)
⑶利用基本不等式,如:;
⑷二项式放缩: ,,

(5)利用常用结论:
Ⅰ. 的放缩:
Ⅱ. 的放缩(1) : (程度大)
Ⅲ. 的放缩(2):(程度小)
Ⅳ. 的放缩(3):(程度更小)
Ⅴ. 分式放缩还可利用真(假)分数的性质:和
记忆口诀“小者小,大者大”。解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.
Ⅵ.构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质的放缩:。
先求和再放缩
例1.,前n项和为Sn ,求证:
例2. , 前n项和为Sn ,求证:
先放缩再求和
(一)放缩后裂项相消
,,其前项和为,求证:
(二)放缩后转化为等比数列。
例4. 满足:
用数学归纳法证明:
,求证:
三、裂项放缩
例5.(1)求的值; (2)求证:.
例6.(1)求证:
(2)求证:
(3)求证:
:

,,求证:.
四、分式放缩
姐妹不等式:和
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.
例9. 姐妹不等式:和
也可以表示成为
和
:
五、均值不等式放缩


,a>0,b>0,若,且在[0,1]上的最大值为,
求证:
六、二项式放缩
,,

,求证.
例14. , 试证明:.

七、部分放缩(尾式放缩)
:

例16. 设求证:



八、函数放缩
:.

:

例19. 求证:

九、借助数列递推关系
例20. 若,求证:

:

十、分类放缩
: