第五章 近代学史.doc

第五章近代数学史
1. 中世纪的欧洲数学
公元5~11世纪,是欧洲历史上的黑暗时期,直到12世纪欧洲数学才开始复苏。
斐波那契(公元1170年至公元1250年)是第一位有影响的数学家。他的代表作《算经》系统介绍了印度、阿拉伯数码,对改变欧洲数学的面貌产生了很大的影响。《算经》中的一个“兔子问题”,产生了著名的斐波那契数列。
2. 向近代数学过渡作准备
⑴代数学的产生
欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的,并拉开了近代数学的序幕。特别表现在三、四次方程求解和符号代数两个方面。代表人物有:
塔塔利亚(公元1499年至公元1557年)意大利数学家,给出了形如:
三次方程的代数解法
费罗(公元1465年至公元1526年)波伦亚大学的数学教授,给出了形如:
三次方程的代数解法
卡尔丹(公元1501年至公元1576年)学者,在其著作中公布了这些解法。并认识到复根是成对出现的。
邦贝利(公元1526年至公元1573年)意大利数学家,在其著作《代数》中引进了虚数。
吉拉德(公元1593年至公元1632年)荷兰数学家在《代数新发现》中给出了著名的“代数基本定理”
韦达(公元1540年至公元1603年)法国数学家,是数学符号系统化的先驱和功臣。他使用的代数符号的改进工作由笛卡儿完成。如:a,b,c表示已知量,x,y,z表示未知量。在方程方面有著名的韦达定理(方程的根与系数的关系)。
⑵三角学的形成

在1450年前,三角学主要是球面三角学,15、16世纪,德国人开始对三角学作新的推进。编制了正弦表,给出了三角函数关系,并采用了6个函数:正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。产生了三角恒等式。
在16世纪三角学从天文学中分离出来,成为一个独立的数学分支。
⑶射影几何学
射影几何学源于绘画艺术中的透视学(法)。研究射影几何学的数学家有:
A. 德沙格(公元1591年至公元1661年)法面所得结果的初稿》中引入70多个射影几何术语,成为从数学上第一个解答透视法问题的人。
B. 帕斯卡(公元1623年至公元1662年)法国数学家,在射影几何学方面的成就是帕斯卡定理:圆锥曲线的内接六边形对边交点共线。
射影几何产生后不久,就让位于代数、解析几何和微积分。
⑷对数的发明

数值计算的需要导致了对数的发明。
纳皮尔(公元1550年至公元1617年)苏格兰数学家在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法的。对数的发明大大减轻了计算工作量,很快风靡欧洲。
3. 解析几何学的诞生
近代数学的本质上可以说是变量数学。而变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆(公元1323年至公元1382年)。但解析几何的真正发明要归功于法国数学家笛卡儿和费马。
⑴笛卡儿(公元1596年至公元1650年)1637年发表了著名的哲学著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》。在这本书的附录《几何学》中,笛卡儿从一个著名的希腊数学问题~帕波斯问题出发,系统阐述了解析几何的理论,成为解析几何的发明人。
笛卡儿也是一位哲学家,他将其《方法论》作为发现真理的一般方法,称之为“通用数学”,并概述了这种通用数学的思路。甚至提出一项计划:
任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。
笛卡儿坚持用怀疑的态度进行科学研究。他有一句哲学名言:“我思故我在”。
⑵费马(公元1601年至公元1665年)1629年,在著作《论平面和立体的轨迹引论》一书中,清晰地阐述了他的解析几何原理。并解析地定义了下面的曲线:
直线方程:
圆:
椭圆:
抛物线: ,
双曲线: ;
费马还定义了新曲线:
, 和
但是费马并没有说明他的解析几何思想是如何形成的。
4. 微积分的创立及分析时代的成果
解析几何是代数与几何相结合的产物。它将变量引进了数学,使运动与变化的定量表述成为可能,从而为微积分的创立打下了基础。
微积分发明之前,在科学研究上酝酿了近半个世纪,发生了许多重大事件:
德国天文学家、数学家开普勒(公元1571年至公元1630年)在1615年论述了圆锥曲线围绕某直线旋转而成的立体体积的积分法。1619年,公布了他的行星运动三大定律。
意大利物理学家、数学家伽利略(公元1564年至公元1642年)在1638年建立了自由落体定律、动量定律。
意大利数学家卡瓦列里(公元1598年至公元1647年)发展了系统的不可分量方法,即“卡瓦列里原理”。P147。
法国数学家笛卡儿(公元1596年至公元1650年)在《几何学》中提出了求切线的所谓“圆法”,这种方法本质上是一种代数方法。在推动微积分的早期发展方面有很大的影响,牛顿正是以这种