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子空间的运算.doc§5 子空间的运算
教学目的通过2学时的讲授,使学生理解子空间交、和的定义与性质,基本掌握子空间直和的刻画定理及初步应用.
教学内容
为了进一步把握向量空间的结构,本节学习向量空间的子空间的交与和两种运算,以及子空间和的重要特况:直和.
交与和
设W1,W2都是数域F上向量空间V的子空间,则W1∩W2也是V的子空间,叫做W1与W2的交.
证因为q∈W1∩W2,所以W1∩W2≠Æ.设α,β∈W1∩W2,则α,β∈Wi,i=1,,所以α+β∈W i;kα∈Wi,"k∈F;i=1,+β∈W1∩W2,kα∈W1∩W2,"k∈,W1∩W2是V的子空间. 
由集合的交的定义可得出,子空间的交适合下列运算规则:
1)交换律 W1∩W2= W2∩W1;
2)结合律(W1∩W2)∩W3= W1∩(W2∩W3).
由结合律,我们得到多个子空间的交:
,
且由归纳法易见,也是V的子空间.
,设I是任一指标集,若"i∈I,Wi是V的子空间,则也是V的子空间.
,在V3中,取W1,W2是通过原点的两个不同的平面,∪W2对加法一般不封闭,因此W1∪∪W2的子空间,则这个子空间应当包含W1中的任一向量α1与W2中的任一向量α2的和α1+α2 .
设W1,W2是数域F上向量空间V的两个子空间,则集合
(1)
是V的一个子空间,叫做W1和W2的和,记作W1+W2.
证把集合(1)∈W(因为q =q +q ).在W中任取两个向量α,β,可设
, ,
其中α1,β1∈W1,α2,β2∈W2,则
.
由于W1,W2是V的子空间,所以α1+β1∈W1,α2+β2∈W2,从而α+β∈W.
类似可证任取k∈F,. 
对于W1中任一向量α1,有α1=α1+ÍW1+,W2ÍW1+∪W2ÍW1++W2是包含W1∪W2的子空间.
设U是V的子空间,且W1∪W2ÍU,则对于任意αi∈Wi,i=1,2,有αi∈+α2∈+W2Í+W2是V中含W1∪W2的最小的子空间.

W1+W2=. (2)
从(2)式容易看出,子空间的和适合下列运算规则:
1)交换律 W1+W2= W2+W1
2)结合律(W1+W2)+W3=W1+(W2+W3).
由结合律,我们可以定义t(t≥2)个子空间的和:
,
用归纳法易证,仍是V的子空间,并且
=. (3)
设与是数域F上向量空间V的两个向量组,则
. (4)
证从(2)式得出
=
=. 
在V3中,设W1是过原点O的一个平面,W2是过O的另一个平面,,W2,L都是V3的子空间,并且W1∩W2=(注意表法不唯一),所以W1+W2==dimW2=2,dim