单摆运动的数学建模.doc

单摆在不同摆角下运动的数学模型
报告人:曾云霖
专业学号:微电子92 09053057
关键词:单摆、简谐运动、空气阻力,摆角大小
摘要:
单摆是生活中常见的模型,也是常用的简单模型。物理学中所讨论的单摆是一种理想化的模型,也称数学摆。它由一根不可伸缩的细线(质量不计),一端固定,另一端悬挂一质量为M的小球(视为质点)而构成的振动系统。
对于理想单摆,我们总是尽可能的简化它的一般分析,认为它只受到重力和拉力的作用。因为拉力与小球的运动总是相互垂直的,对小球的运动没什么影响
但生活中的单摆往往是非理想的,非理想单摆还考虑到绳的重力、空气阻力等,且单摆的运动还与单摆的摆角有关,研究单摆在不同摆角下的运动是有现实和理论意义的
模型建立:
考虑在摆角很小的范围内(小于5度),sinθ≈θ
此时受力如图所示:
由牛顿第二定律可知




化简可得

这是一个二阶常系数的奇次线性微分方程,设定初值条件:

利用高等数学知识可以解得:

代入初值条件:

结论:理想单摆在小摆角下(小于5度)的运动是简谐运动
周期
问题扩展:
实际生活中的单摆是非理想的,总要收到其它力的作用,如绳的重力,空气阻力等
现在我们忽略绳的重力,考虑在空气阻力环境下单摆的运动。
查阅知识可知:空气粘滞阻力与小球速度成正比,即
所以单摆的受力方程变换为

化简可得:

可令

当时

当时

当时

深化扩展:
以上讨论都是在摆角较小的前提下讨论出来的,若是大摆角的摆动,则不再成立了,此时可以考虑泰勒式展开。

因为后面的级数对结果影响不大,所以近似可取
代入理想方程中
这个微分方程比较难解,可以考虑用Matlab去求其解析解或数值解。