数学建模之单摆摆动问题分析.doc

数学建模之单摆摆动问题分析数学建模在实际中的应用单摆摆动问题分析学号姓名专业根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中,抽象出单摆的模型。在理想条件下,单摆的摆动规律大致分为两种情况:小角度摆动和大角度摆动,分别针对这两种情况,从摆动微分方程出发,之后采取不同的方法分析。小角度摆动时,可做三角近似代替,将非线性微分方程转化为线性微分方程,进而求出其解析解,得到小摆角时单摆运动规律。通过matlab软件的验证,可以明显的看出结果与实际相符的很好。一、问题描述针对理想条件下的单摆,分析在小摆角和大摆角两种不同情况下的运动规律。二、,线长比小球的直径大得多;;,且无驱动力。三、符号说明符号含义(rad)单摆偏离平衡位置的角位移,单摆的最大摆角,(rad)0g2重力加速度,,取1mt(s)单摆摆动时间四、(如图1)(<5),,,1单摆的运动微分方程为:2d,g+=0(1)sin,2dtl当摆角很小时,sin,故方程1可简化为:,,,,2d,g+=0(2),2dtl这是一个简单的谐振动方程,其解析解为:,,,=Acos()(3),00其固定角频率为:g,=(4)0l得其周期为:,2,lT=(5)2,,0g,0o可以利用matlab软件在[0,5]分别作出方程(1)和方程(2)的解得图像,如图2图2小角度单摆摆动规律(—方程(1)的解,**方程(2)的解)o由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合,可以说明当较小时(<5),,,两方程的解几乎相等,故周期公式此时较为准确。o上述结论仅仅适用于摆角很小时(<5),当摆角很大时,方程sin不,,,,,再成立,方程(1)和方程(2)的解不再相近,故周期公式(5)不再成立。下面我们继续讨论摆角比较大时的单摆运动规律。(1)文献【2】从相图的角度得出单摆运动周期的精确解为:,,2Td02T=(6),220,1,sin(,/2)sin,0,为研究大摆角时单摆运动周期准确解,我们利用matlab软件在[0,]区间上2T做出T、的图像,得到周期的准确解。0T03图3单摆大摆角周期准确解T如图可以看出,随着摆角的增大,单摆的运动周期逐渐增大,也随之增大。T0(2)其他参考公式为求出单摆的周期,有时我们仅仅需要比较简单的近似公式还计算,T为文2献【3】利用格林函数法得到的近似公式:24,,00T=T(1+)(7)-021638400,经计算,T的相对误差随着的增加而迅速增加,当摆角达到36(54)%(%),这对于精确计算已经不满足要求。T为文献【4】给出另外一个简单近似计算公式:31T=T(8)30cos(,/2)00该公式简单实用,由公式可以计算,%;%。利用另外一种近似求解的方法——余弦函数法求的周期:4,,11,3,,2400sin,sinT=T{1++……}(9),,04422,42,,由公式显而易见可得,周期随着摆角的增大而增大。五、结论对于类似单摆的运动问题,一般都希望求得微分方程的严格的解析表达式进而得到完全准确的运动规律,但很多时候都无法直接