第5章相似矩阵与二次型
向量的内积、正交化方法
方阵的特征值与特征向量
相似矩阵
实对称矩阵的相似矩阵
二次型及其矩阵表示
二次型的标准形
正定二次型
向量的内积、正交化方法
定义1 设有维向量
称为向量与的内积
向量的内积具有下列性质
令
定义2 设
令
称为向量的长度(或范数).
向量的长度具有下列性质
性质1 非负性:当
时,
;当
时,
性质2 齐次性:
(
为实数).
性质3 三角不等式
则
.
当
时,
可以证明
称为
维向量
与
的夹角.
当
时,称向量
与
显然,零向量与任何向量都正交.
正交.
定义3 一组两两正交的非零向量组,称为正交向量组.
两两正交的单位向量组,称为单位正交向量组, 记作
正交向量组有下列性质:
性质1 若
是正交向量组,则
无关.
性质2 设
为单位正交向量组,
为同维数的任一
若存在数
,使
则
线性
向量,
.
例1 已知两个3维向量
正交,求一个非零向量
使
两两正交.
解: 记
,则
应满足齐次线性方程组
即
因为
所以同解方程组为
,通解为
一基础解系为
,取
即可.
,
(施密特(Schimidt)正交化过程)
设
为一线性无关向量组
(1)正交化
取
依次类推,一般的,有
可以证明,
两两正交,且与
等价.
(2)单位化
令
则
为单位正交向量组,且
等价.
把基础解系正交化,
于是得
即为所求.
阶矩阵
正交矩阵
定义4 如果
满足
,那么称
为正交矩阵,简称正交阵.
例如:
都是正交矩阵.
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