区工商局关于规范禅城区经营主体住所(经营场所)登.doc

姓名学号学院专业座位号
( 密封线内不答题)
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诚信应考,考试作弊将带来严重后果!
华南理工大学期末考试
《微积分(上) 》试卷A
(试卷号:2012期中时间120分钟,总分100)
注意事项:1. 考前请将密封线内填写清楚;
2. 所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效);
:闭卷;
4. 本试卷共五大题,满分100分, 考试时间120分钟。
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
评卷人
填空题(每小题3分,15分)
,则的单调递增区间为
,则函数的定义域为
,与是同阶无穷小,则 5
,则
5. 设,则该函数在上满足拉格朗日微分中值定理的
计算下列各题(每小题5分,共25分)
6、求极限
解
又 3分
由夹逼准则 2分
7、求极限
解 2+2+1分
8、设,求
解方程两边对求导,视,有
即,解得 2分
上面的方程两边对再求导,视,有
,即 2分
因此 1分
9、设,求
解 4分
1分
设,求
解
3分
从而
证明如下:当时,已经验证公式成立。
设时, 2分
则,得证公式成立。
解答下列各题(每小题7分,共35分)
11、求心形线在点处的切线和法线方程
解
在点处, 2分
在处有,从而 3分
因此切线方程为,即;
法线方程为,即 2分
12、设,求导函数,并讨论在处的连续性
解当时, 2分
当时,
从而 2分
由于不存在,所以在处不连续 3分
13、设是方程确定的隐函数,求
解当时,方程化为,从而对应
方程两边对求导,视,有
代入,,得 4分
从而 3分
14、用泰勒公式求极限
解由泰勒公式
3分
从而
4分
求函数的极值
解,
令,得驻点 3分
列表
-
+
-
+
-
+
单调减
单调增
单调减
单调增
单调减
单调增
从而函数有极大值
极大值 4分
证明题(每小题6分,共12分)
16、证明不等式:当时,
证设
则在时连续、可导,且
令,得 3分
又,从而函数有极小值且为最小值
故当时,即 3分
设函数在内可微,且。试证
证由于,从而对所有,对,存在,当时, 2分
对,在上用柯西中值定理,则存在,使得
即,
也即 2分
又由于,对,当时,
从而当时,从而 2分
应用题(本题13分)
18、研究函数的性态(包括单调区间、极值、凹凸区间、拐点、渐近线等),画出简图,并根据的具体取值范围讨论方程的根的情况。
解函数定义域为、为奇函数,非周期函数
,令得驻点;
,令得
列表 5分
0
1
+
0
-
-
-
0
+
-
-
-
0
+
+
+
单调增、凸
极大
单调减、凸
单调减、凹
极小
单调增、凹
极大值,极小值,拐点
无铅直和水平渐近线,,
从而有两条斜的渐近线
作图(略) 5分
即,由图可知,当或时有两根,
当或时有单根,当时有三根。
3分