定积分第五节定积分的应用.ppt

第五节定积分的应用
本章中我们将用前面学过的定积分的知识来
分析和解决一些几何、物理中的问题,其目的
不仅是建立计算这些几何、物理的公式,
更重要的在于介绍运用元素分析法解决问题
的定积分的方法。
第一定积分的元素法
一问题的提出
二定积分的元素法
考虑曲边梯形面积计算问题
a
b
x
y
o
一问题的提出(Introduction)
面积表示为定积分要通过如下步骤:
2
)
(
计算
i
A
D
的近似值
(3) 求和,得A的近似值
(4) 求极限,得A的精确值.
(
1
)
把区间
]
,
[
b
a
分成
n
个长度为
i
x
D
的小区间,
相应的曲边梯形被分为
n
个小窄曲边梯形,第
i
个小窄曲边梯形的面积为
i
A
D
,则
å
=
D
=
n
i
i
A
A
1
;
要想得到一个定积分表达式,只要求出被积
表达式
这就是定积分的元素法.
两式,我们发现一个事实,即左边的极限式子与右边
的定积分表达式有很好的对应。我们让
比较
元素法的一般步骤:
2
)
在
]
,
[
b
a
中任取一小区间并记为
]
,
[
dx
x
x
+
,求出相应于这小区间的部分量
U
D
的近似值
.
如果
能近似地表示为
]
,
[
b
a
上
的一个连续函数在
x
处的值
)
(
x
f
与
dx
的乘
积,就把
dx
x
f
)
(
称为量
U
的元素且记作
dU
,即
dx
x
f
dU
)
(
=
;
二定积分的元素法(Element Method)
这个方法通常叫做元素法.
常见应用方向有:
平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长;功;水压力;引力等.
一、平面图形的面积
二、体积
第二定积分在几何学上的应用
三、平面曲线的弧长
dS= [f上(x) f下(x)]dx,
它也就是面积元素.
一、平面图形的面积
设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成.
因此平面图形的面积为
在点x处面积增量的近似值为

讨论:
由左右两条曲线xj左(y)与xj右(y)及上下两条直线yd与yc所围成的平面图形的面积如何表示为定积分?
提示:
面积为
面积元素为[j右(y)j左(y)]dy,