定积分讲义-.doc

第六章定积分及其应用
,,我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理,它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来,,我们把定积分的概念加以推广,简要讨论两类广义积分.
§ 定积分的概念与性质
1. 定积分的定义
我们先来研究两个实际问题.
例1 计算曲边梯形的面积
设为闭区间上的连续函数,,直线及轴所围成的平面图形(图6—1)称为在上的曲边梯形,试求这曲边梯形的面积.
图6—1
,—,得到相应的小矩形,把所有这些小矩形的面积加起来,,把曲边梯形分得越细,所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积,:
(1) 分割在中任意插入个分点
把分成个子区间,,…,,每个子区间的长度为.
(2) 近似求和在每个子区间上任取一点,作和式
()
(3) 取极限当上述分割越来越细(即分点越来越多,同时各个子区间的长度越来越小)时,和式()的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A).因此当最长的子区间的长度趋于零时,就有
.
例2 求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动,.
因为是变量,.
(1) 用分点

把时间区间任意分成个子区间(图6—2):
,,…,.
每个子区间的长度为().

图6—2
(2) 在每个子区间()上任取一点,作和式
.
(3) 当分点的个数无限地增加,最长的子区间的长度趋于零时就有
.
以上两个问题分别来自于几何与物理中,两者的性质截然不同,但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的,即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限”,或者说都转化为具有特定结构的和式()的极限问题,在自然科学和工程技术中有很多问题,如变力沿直线作功,物质曲线的质量、平均值、弧长等,都需要用类似的方法去解决,从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究,由此产生了定积分的概念.
设函数在上有定义,在内任取个分点
把分成个子区间,,…,,(称为介点),作和式,,也不论在子区间上怎样取介点,只要当时,和式()总趋于确定的值,则称这极限值为函数在区间上的定积分,记作,即
()
其中称为被积函数,称为积分变量,称为积分区间,分别称为积分的下限和上限.
关于定积分的定义,再强调说明几点:
(1) ,,必须要求最长的子区间的长度,这时必然有.
(2) 定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限,
()随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断变化着,,我们才说定积分存在.
(3) 从定义可以推出定积分(),当把任意划分成个子区间后,,能使的绝对值任意地大,也就是能使和式()的绝对值任意大,从而不可能趋于某个确定的值.
(4) 由定义可知,当在区间上的定积分存在时,它的值只与被积函数以及积分区间有关,而与积分变量无关,所以定积分的值不会因积分变量的改变而改变,即有
.
(5) 我们仅对的情形定义了积分,为了今后使用方便,对与的情况作如下补充规定:
当时,规定;
当时,规定.
根据定积分的定义,我们说:例1中在上的曲边梯形的面积就是曲线的纵坐标从到的定积分
.
,,,定积分的值就是各个曲边梯形面积的代数和,如图6—3所示.

图6—3
例2中物体从时刻到时刻所经过的路程就是速度在时间区间上的定积分
.
对应于导数的力学意义,我们也说它