近世代数学习系列环.doc

近世代数学习系列环.doc环
简介
,数学家们开始研究满足所有合成律(即加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律,以及乘法对加法的分配律等等)、乘法和相应的运算性质,(数)环.

在20世纪,数学家们开始研究一种新型结构叫“环”.环是一个集合,其中的元素能通过一种类似加法运算按下面的方式结合起来:
1. 若a和b都是环中的元素,那么a+b也是环中的元素;
2. 加法符合结合律:若a、b和c都属于这个环,那么a+(b+c)=(a+b)+c;
3. 在环中存在一个类似于0的元素--甚至也可以称它为0--具有性质:对于环中的任一元素a,有0+a=a;
4. 对于环中的每个元素a和b,a+b=b+a都成立.
在环中,还对这些元素定义了另一个类似于乘法的运算,它具有下面两个性质:
1. 若a和b属于环,那么它们的乘积ab也属于环;
2. 若a、b和c属于环,那么结合律成立:a(bc)=(ab)c.
环的乘法通常不满足交换律(ab=ba 一般不成立),×n矩阵的集合连同运算选出来,就形成一个具体的环的例子.
在20世纪的前30多年中,由于德国数学家诺特(Emmy Noether,1882-1935年)的工作,环的结构的研究变得非常重要.
,但是由于他们对矩阵的理解非常深刻,给出了许多卓有成效的解释,所以有时把一个特殊的环表示成一个n×,不仅能使数学家们把环理解成具体的,甚至是可以计算的问题,而且能使数学家们去运用数学理论家的那种非常抽象的思想
.这种用矩阵集合表示环或群的方法,已经成为了当代数学、物理学,以及理论化学的一个重要组成部分.
____摘自:《代数学-集合、符号和思维的语言》[美]约翰·塔巴克著,商务印书馆,2007年7月第1版
环的定义
在非空集合R中,若定义了两种代数运算加和乘,且满足:
1)集合R在加法运算下构成Abel群.
2)乘法有封闭性,即对任何a∈R,b∈R,有ab∈R.
3)乘法分配律与结合律成立,即对任何a∈R,b∈R和c∈R,有
a (b+c) =ab + ac
(b+c)a = ba + ca
(ab)c = a(bc)
:
对于任何的a∈R和b∈R,有
① aŸ0 = 0Ÿa = 0.
② a(-b) = (-a)b = -ab.
,而R在加法下是一个交换群,且乘法对加法有分配律,,使得对α∈R恒有α+θ=α;R 中每个α有唯一的负元素-α,使α+(- α)=θ,可简记α+(-b)为α-:α(b±с)=αb±αс,(b±с)α=bα±сα;用数学归纳法可证

  
公式
在非结合环R 中恒有:αθ=θα=θ;α(-b)=(-α)b=-αb;(-α)(-b)=αb;(nα)b=α(nb)=nαb,其中α、b为R中任意元素,:α2=θ(α∈R),且雅可比恒等式成立,即在R 中恒有(αb)с+(bс)α+(сα)b=θ,那么R ,且在R 中恒有
(αα)b
α=(αα)(bα),那么R , 的乘法适合结合律,那么R “.”(称为换位运算):=αb-bα,那么R 对原来的加法与新有的乘法是一个李环;若规定的新乘法为“·”(称为对称运算):α·b=αb+bα,则R 便成一个若尔当环. 设S 是非结合环R 的一个非空子集,若对于R 的加法与乘法,S 也构成一个非结合环,则S 称为R (即其中有三个元素在相乘时不适合结合律)的一个子环, 的若干个子环的交,仍是R 为R 的一个非空子集时,R 中所有含T 的子环的交显然是R 中含T 的最小子环,称之为R的由T 中任意三个元素生成的子环恒为结合环,那么R已经是一个结合环;如果R中任意两个元素生成的子环恒为结合环,那么R称为一个交错环;如果R中任意一个元素生成的子环恒为结合环,那么R称为