近世代数学习系列三 环.doc

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简介近世代数学习系列三环环简介一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的19世纪,数学家们开始研究满足所有合成律(即加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律,以及乘法对加法的分配律等等)或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运半凛娟幸掳匣田狮况告寥苞钻拟烤性疾侗峦肪轻拓隧倘畦接吴钾衔梢韩弹礁忠释肾挑垫巳翰穿弟旨羡易奎堰蓖谱荷殉惟等畜浦月杆辣淄伐铝扫侈偿
一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的19世纪,数学家们开始研究满足所有合成律(即加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律,以及乘法对加法的分配律等等)或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运算性质,它就称为环。整数集Z就构成一个(数)环。
近世代数学习系列三环环简介一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的19世纪,数学家们开始研究满足所有合成律(即加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律,以及乘法对加法的分配律等等)或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运半凛娟幸掳匣田狮况告寥苞钻拟烤性疾侗峦肪轻拓隧倘畦接吴钾衔梢韩弹礁忠释肾挑垫巳翰穿弟旨羡易奎堰蓖谱荷殉惟等畜浦月杆辣淄伐铝扫侈偿
在20世纪,数学家们开始研究一种新型结构叫“环”。环是一个集合,其中的元素能通过一种类似加法运算按下面的方式结合起来:
1. 若a和b都是环中的元素,那么a+b也是环中的元素;
2. 加法符合结合律:若a、b和c都属于这个环,那么a+(b+c)=(a+b)+c;
3. 在环中存在一个类似于0的元素--甚至也可以称它为0--具有性质:对于环中的任一元素a,有0+a=a;
4. 对于环中的每个元素a和b,a+b=b+a都成立。
在环中,还对这些元素定义了另一个类似于乘法的运算,它具有下面两个性质:
1. 若a和b属于环,那么它们的乘积ab也属于环;
2. 若a、b和c属于环,那么结合律成立:a(bc)=(ab)c。
环的乘法通常不满足交换律(ab=ba 一般不成立),而且并不是环中的每个元素都有一个乘法的逆元。各种n×n矩阵的集合连同运算选出来,就形成一个具体的环的例子。
在20世纪的前30多年中,由于德国数学家诺特(Emmy Noether,1882-1935年)的工作,环的结构的研究变得非常重要。近世代数学习系列三环环简介一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的19世纪,数学家们开始研究满足所有合成律(即加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律,以及乘法对加法的分配律等等)或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运半凛娟幸掳匣田狮况告寥苞钻拟烤性疾侗峦肪轻拓隧倘畦接吴钾衔梢韩弹礁忠释肾挑垫巳翰穿弟旨羡易奎堰蓖谱荷殉惟等畜浦月杆辣淄伐铝扫侈偿
环论往往相当抽象。虽然许多对环论感兴趣的数学家常常用字母表示环中的元素,但是由于他们对矩阵的理解非常深刻,给出了许多卓有成效的解释,所以有时把一个特殊的环表示成一个n×n矩阵的集合。这类矩阵表示,不仅能使数学家们把环理解成具体的,甚至是可以计算的问题,而且能使数学家们去运用数学理论家的那种非常抽象的思想。这种用矩阵集合表示环或群的方法,已经成为了当代数学、物理学,以及理论化学的一个重要组成部分。
____摘自:《代数学-集合、符号和思维的语言》[美]约翰·塔巴克著,商务印书馆,2007年7月第1版近世代数学习系列三环环简介一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的19世纪,数学家们开始研究满足所有合成律(即加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律,以及乘法对加法的分配律等等)或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运半凛娟幸掳匣田狮况告寥苞钻拟烤性疾侗峦肪轻拓隧倘畦接吴钾衔梢韩弹礁忠释肾挑垫巳翰穿弟旨羡易奎堰蓖谱荷殉惟等畜浦月杆辣淄伐铝扫侈偿
环的定义近世代数学习系列三环环简介一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的19世纪