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环
简介
一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的1９世纪，数学家们开始研究满足所有合成律(即加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律,以及乘法对加法的分配律等等)或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运算性质，它就称为环。整数集Z就构成一个(数）环。
　
在２0世纪，数学家们开始研究一种新型结构叫“环”。环是一个集合，其中的元素能通过一种类似加法运算按下面的方式结合起来：
1.　若a和b都是环中的元素，那么a＋b也是环中的元素；
　　２. 加法符合结合律:若ａ、b和c都属于这个环,那么a＋(b+ｃ）＝（a＋b）+c；
　 3.　在环中存在一个类似于0的元素--甚至也可以称它为０－-具有性质：对于环中的任一元素a,有0+ａ＝a;ﻫ 　4. 对于环中的每个元素a和ｂ，a+b=b+a都成立。ﻫ 在环中，还对这些元素定义了另一个类似于乘法的运算，它具有下面两个性质：
1.　若a和ｂ属于环,那么它们的乘积aｂ也属于环;ﻫ　　2. 若a、b和c属于环，那么结合律成立:a(bc）=(ａb）c。ﻫ　　环的乘法通常不满足交换律（ａb=bａ 一般不成立）,而且并不是环中的每个元素都有一个乘法的逆元。各种ｎ×ｎ矩阵的集合连同运算选出来，就形成一个具体的环的例子。
在2０世纪的前３0多年中,由于德国数学家诺特(Eｍｍｙ Ｎoｅｔher,１882-１9３5年）的工作,环的结构的研究变得非常重要。
环论往往相当抽象。虽然许多对环论感兴趣的数学家常常用字母表示环中的元素,但是由于他们对矩阵的理解非常深刻，给出了许多卓有成效的解释,所以有时把一个特殊的环表示成一个ｎ×ｎ矩阵的集合。这类矩阵表示，不仅能使数学家们把环理解成具体的，甚至是可以计算的问题，而且能使数学家们去运用数学理论家的那种非常抽象的思想。这种用矩阵集合表示环或群的方法,已经成为了当代数学、物理学，以及理论化学的一个重要组成部分。ﻫ 　___＿摘自:《代数学-集合、符号和思维的语言》[美]约翰·塔巴克著,商务印书馆，２００7年７月第1版
环的定义
在非空集合Ｒ中，若定义了两种代数运算加和乘,且满足：
　 1）集合R在加法运算下构成Aｂeｌ群。
　 2)乘法有封闭性,即对任何a∈Ｒ,b∈Ｒ,有ab∈Ｒ。　
　 3）乘法分配律与结合律成立，即对任何ａ∈R,b∈Ｒ和c∈Ｒ,有
　　a (b＋ｃ）　＝ａｂ　＋ ac
(b+c）a ＝　ba　＋ ｃa
　（ab)c =　a(bc)
我们则称R是一个环。一个环同样有几个最基本的性质：
对于任何的a∈R和b∈R，有
①　aŸ0 ＝ 0Ÿa　= ０。
② a(-b)　= (－a)b =　－ab。
一个具有两种二元运算的代数系统。设在集合R中已定义了加法与乘法,而Ｒ在加法下是一个交换群,且乘法对加法有分配律，则R称为一个非结合环。此时Ｒ中就有唯一的零元素θ,使得对α∈Ｒ恒有α+θ=α；R 中每个α有唯一的负元素-α，使α+(- α)＝θ，可简记α＋(-b）为α-b。分配律可推广为:α(b±с)=αb±αс,(b±с)α＝bα±сα；用数学归纳法可证　
　　
  
公式
在非结合环Ｒ 中恒有:αθ=θα=θ;α（-b)=(-α)ｂ＝