近世代数学习系列三环.pdf

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经是一个结合
环；如果 R 中任意两个元素生成的子环恒为结合环,那么 R 称为一个交错环;
如果 R 中任意一个元素生成的子环恒为结合环,那么 R 称为一个幂结合环。
在幂结合环中，第一、第二指数定律即


公式
恒成立。如果一个交错环的乘法还适合交换律，那么它称为一个交错交
换环。在交错交换环中，不仅有第一、第二指数定律成立，而且有第三指
数定律即

公式
成立；还有二项式定理。 结合环与交换环的典型例子如:F 上的 n 阶全阵
环,即数域（或域）F 上的所有 n 阶矩阵在矩阵的加法与乘法下构成的一个
环。V 的完全线性变换环，即 F 上的一个向量空间 V 的全部线性变换在变
换的加法与乘法下构成的一个环。F 上的多项式环，即 F 上一个或若干个文
字的多项式全体构成的一个交换环。整数环，即全体整数构成的一个交换
环；全体偶数构成它的一个子环，称为偶数环。R 上的 n 阶全阵环,即在任
意一个环 R 上的全部 n 阶矩阵,对于仿通常矩阵的运算定义的加法与乘法构
成的环，记为 Rn。【0,1】上的全实函数环，即定义在区间【0,1】上的全
部实函数，对于函数的加法与乘法构成的一个交换环。整数模 n 的环 R 奱，
即模 n 剩余类，对于剩余类的加法和乘法构成的一个交换环。它是只含有
限个元素的交换环的典型例子。
若一个环 R 中含有一个非零元素 e≠θ，使对每个 x∈R 有 ex=xe=x,
则 e 称为 R 的一个单位元素。一个环若有单位元素,则它必然是唯一的。设
R 是一个含有单位元素的环,α 是 R 中一个元素,若 R 中有元素 b,使
αb=bα=e,则 b 称为 α 的一个逆元素。当 α 有逆元素时,其逆元素必然是
唯一的,记为 α-1,α-1 也有逆元素,而且就是 α,即(α-1)-1=α。R 的零
元素 θ 必无逆元素。若 R 的每个非零元素都有逆元素, 则 R 称为一个体
或可除环。四元数代数就是典型的体。在体的定义中再规定其乘法适合交
换律，就是域的定义。
理想
设 S 是环 R 的一个非空子集，所谓 S 是 R 的一个左理想，意即①S 是
R 作为加法群时的一个子群；②当 α∈S,x∈R 时,则 xα∈S。若有 αx∈S,
则 S 称为 R 的右理想。如果 S 既是 R 的左理想，又是 R 的右理想,则称 S
是 R 的一个理想。例如,{θ}是环 R 的一个理想。设 l1、l2 都是环 R 的左
理想。R 中所有的元素 α+b(α∈l1,b∈l2)作成 R 的一个左理想,并称之为
l1 与 l2 的和,记为 l1+l2。R 中所有的有限和


公式
作成 R 的一个左理想,称为 R 的左理想 l1 与 l2 的积,记为 l1l2。易知 R
的左理想的加法适合交换律与结合律；R 的左理想的乘法适合结合律且对
加法有分配律。 对于 R 的右理想的加法与乘法也有类似结果。由于左理想
与右理想的对称性,因此以下关于左理想的讨论, 对于右理想也适合。环