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环
介绍
一个含有两种二元运算代数系统。 在抽象代数产生19世纪, 数学家们开始研究满足全部合成律（即加法交换律、 结合律, 乘法交换律、 结合律, 和乘法对加法分配律等等）或满足其中一部分集合。 倘若一个集合含有加法、 乘法和对应运算性质, 它就称为环。 整数集Z就组成一个（数）环。
　　
在20世纪, 数学家们开始研究一个新型结构叫“环”。 环是一个集合, 其中元素能经过一个类似加法运算按下面方法结合起来:
　　1. 若a和b全部是环中元素, 那么a+b也是环中元素;
　　2. 加法符合结合律: 若a、 b和c全部属于这个环, 那么a+(b+c)=(a+b)+c;
　　3. 在环中存在一个类似于0元素－－甚至也能够称它为0－－含有性质: 对于环中任一元素a, 有0+a=a;
　　4. 对于环中每个元素a和b, a+b=b+a全部成立。
　　在环中, 还对这些元素定义了另一个类似于乘法运算, 它含有下面两个性质:
　　1. 若a和b属于环, 那么它们乘积ab也属于环;
　　2. 若a、 b和c属于环, 那么结合律成立: a(bc)=(ab)c。
　　环乘法通常不满足交换律（ab=ba 通常不成立）, 而且并不是环中每个元素全部有一个乘法逆元。 多种n×n矩阵集合连同运算选出来, 就形成一个具体环例子。
　　在20世纪前30多年中, 因为德国数学家诺特(Emmy Noether, 1882-1935年）工作, 环结构研究变得很关键。
环论往往相当抽象。 即使很多对环论感爱好数学家常常见字母表示环中元素, 不过因为她们对矩阵了解很深刻, 给出了很多卓有成效解释, 所以有时把一个特殊环表示成一个n×n矩阵集合。 这类矩阵表示, 不仅能使数学家们把环了解成具体, 甚至是能够计算问题, 而且能使数学家们去利用数学理论家那种很抽象思想。 这种用矩阵集合表示环或群方法, 已经成为了现代数学、 物理学, 和理论化学一个关键组成部分。
　　____摘自: 《代数学－集合、 符号和思维语言》[美]约翰·塔巴克著, 商务印书馆, 7月第1版
环定义
　在非空集合R中, 若定义了两种代数运算加和乘, 且满足:
　　1）集合R在加法运算下组成Abel群。
　　2）乘法有封闭性, 即对任何a∈R,b∈R, 有ab∈R。
　　3）乘法分配律和结合律成立, 即对任何a∈R, b∈R和c∈R, 有
　　a (b+c) =ab + ac
　　(b+c)a = ba + ca
　　(ab)c = a(bc)
　　我们则称R是一个环。 一个环一样有多个最基础性质:
　　对于任何a∈R和b∈R,有
　　① aŸ0 = 0Ÿa = 0。
　　② a(-b) = (-a)b = -ab。
　　一个含有两种二元运算代数系统。 设在集合R中已定义了加法和乘法, 而R在加法下是一个交换群,且乘法对加法有分配律, 则R称为一个非结合环。 此时R中就有唯一零元素θ, 使得对α∈R恒有α+θ=α; R 中每个α有唯一负元素-α,使α+(- α)=θ,可简记α+(-b)为α-b。 分配律可推广为: α(b±с)=αb±αс, (b±с)α=bα±сα; 用数学归纳法可证
　　
  
公式
　在非结合环R 中恒有: αθ=θα=θ; α(-b)=(-α)b=-αb; (-α)(-b)=αb; (nα)b=α(nb)=nαb,其中α、 b为R中任意元素, n为任意整数。 假如非结合环R还含有性质:α2=θ（α∈R）, 且雅可比恒等式成立, 即在R 中恒有(αb)с+(bс)α+(сα)b=θ, 那么R 称为一个李环。 假如非结合环R乘法适合交换律, 且在R 中恒有
(αα)b
　　α=(αα)(bα), 那么R 称为一个若尔当环。 在非结合环研究中,李环和若尔当环是内容最丰富两个分支。 假如非结合环R 乘法适合结合律, 那么R 称为一个结合环或环。 假如在环R中再要求以下一个新乘法“。 ”（称为换位运算）: α。 b=αb-bα, 那么R 对原来加法和新有乘法是一个李环; 若要求新乘法为“·”（称为对称运算）:α·b=αb+bα, 则R 便成一个若尔当环。 设S 是非结合环R 一个非空子集, 若对于R 加法和乘法, S 也组成一个非结合环, 则S 称为R 一个子环。 一个真正非结合环（即其中有三个元素在相乘时不适合结合律）一个子环, 有可能是一个结合环。 非结合环R 若干个子环交, 仍是R 一个子环。 当T 为R 一个非空子集时, R 中全部含T 子环交显然是R 中含T 最小子环,称之为R由T 生成子环。 假如非结合环R 中任意三个元素生成子