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生产与存储的动态规划模型
陈立云
[摘要]:本文讨论了关于生产与存储的问题,这是一个多阶段决策的生产问题,,应用动态规划方法解决了这一问题,达到生产、需求与库存之间的平衡,.
关键词:数学模型;动态规划;状态变量;最优指标函数
1 问题的提出
设某工厂调查研究了解市场情况,估计在今后四个时期市场对产品的需求量,如表所示:
时期
1
2
3
4
需求量
2
3
2
4
假定不论在任何时期,生产每批产品的固定成本费为3(千元),若不生产,则为0,每单位生产成本费为1(千元).(千元),:该工厂如何安排各个时期的生产与库存,使所花的总成本费用最低?
2 符号说明与问题重述
生产过程划分为四个阶段,阶段变量即:
状态变量表示第k阶段末的库存量,由已知得
决策变量表示第k阶段的生产量, 表示第 k 阶段的需求量.
状态转移方程: ,
阶段指标函数表示第 k阶段的总成本,它由两部分构成,一部分是第 k阶段的生产成本,另一部分是第 k
已知时段k某产品的需求量为(k=1,2,……K),任一时段若生产该产品,需付出生产准备费,且生产每单位产品的生产成本为 n,若满足本时段需求后有剩余,,最大存贮量为,且第1时段初有库存量,试制订产品的生产计划,即每时段的产量,使 K个时段的总费用最小.
为了通过具体的计算说明解决这问题的方法,现设,千元,n=1千元/单位,千元/.,单位,
没有给出,视为存贮量不受限制.
3 模型的建立
建立模型Ⅰ
在提出生产与存贮问题时,忽略生产准备费用,首先考虑到生产、需求与库存之间存在着的平衡关系,这是一个一般的线性规划问题,可假设生产量为,,,,由于存贮费用取决于库存量,则记第一、二、三时期末的库存量为,,,由此可以用生产成本与存贮费之和(记作Z)作为问题为目标函数,在已知的第一期期初及第四期期末均无产品库存,得到一个简单的线性规模型:

此模型可用单纯形法求解,或用数学软件Maple求解,也可将上模型输入LINDON求解,就可得到最优解(略).注意:这是在忽略生产准备费用时的最优解.
建立模型Ⅱ
以上用混合整数规划求解过多阶段生产计划,实际上,这是一类典型的动态优化问题,与用变分法建立连续动态优化模型不同的是,多阶段生产计划属于离散动态优化问题,,并将它转化为典型的动态优化模型——最短路问题,、假设,可建立一个动态规划的数学模型.
由题可知:
所以:
基本方程为:
4 模型Ⅱ的求解
动态规划的寻优方向一般有用逆序算法(反向递归)或顺序算法(正向递归),即,可采用两种方法求解