近世代数知识点.docx

近世代数知识点
基本概念
集合
A的全体子集所组成的集合称为A的幂集,记作2A.
映射
证明映射:
单射:元不同,像不同;或者像相同,元相同。
满射:像集合中每个元素都有原像。
Remark: 映射满足结合律!
卡氏积与代数运算
{(a,b)∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积,其中(a,b)为有序元素对,所以一般A*B不等于B*A.
集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
等价关系与集合的分类
等价关系:1 自反性:∀a∈A,a~a;
2 对称性:∀a,b∈R, a~b=>b~a∈R;
3 传递性:∀a,b,c∈R,a~b,b~c =>a~c∈R.
Remark:对称+传递≠自反
一个等价关系决定一个分类,反之,一个分类决定一个等价关系
不同的等价类互不相交,一般等价类用[a]表示。
群
半群
半群=代数运算+结合律,记作(S, ∘)
Remark: :任意选取集合中的两个元素,让两元素间做此运算,观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
,即a∘b=b∘a,则称为交换半群。
单位元
半群中左右单位元不一定都存在,即使存在也可能不唯一,甚至可能都不存在;若都存在,则左单位元=右单位元=单位元。
单位元具有唯一性,且在交换半群中:左单位元=右单位元=单位元。
在有单位元的半群中,规定a0=e.
逆元
在有单位元e的半群中,存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
逆元具有唯一性,记作a-1且在交换半群中,左逆元=右逆元=可逆元。
若一个元素a既有左逆元a1,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。
子半群
设S是半群,∅≠T⊆S,若T对S的运算做成半群,则T为S的一个子半群
T是S的子半群⇔∀a,b∈T,有ab∈T
群
=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元
Remark:i. 若代数运算满足交换律,则称为交换群或Abel群.
ii. 加群=代数运算为加法+交换群
={ε∈C |εm=1},数域P上全体n阶可逆(满秩)矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).
2. 群=代数运算+结合律+左(右)单位元+左(右)逆元
=代数运算+结合律+单位元+逆元
=代数运算+结合律+∀a,b∈G,ax=b,ya=b有解
3. 群的性质
i. 群满足左右消去律
,则∀a,b∈G,ax=b,ya=b在G中有唯一解
iii. e是G单位元⇔ e2=e
,满足左右消去律,则G是一个群
4. 群的阶
群G的阶,即群G中的元素个数,用|G|表示。若为无限群,则|G|=∞。
Remark:


1. 定义:设G是一个群,a∈G,使得am=e成立的最小正整数m称为元素a的阶,记作|a|=m;若m不存在,则a=∞
2. 阶的性质
①G是一个群,a∈G, |a|=m,
an=e⇔m|n;
ah=ak⇔m|h-k;
e=a0,a1,a2,……am-1两两不