近世代数知识点.doc

近世代数知识点基本概念集合A得全体子集所组成得集合称为A得幂集,记作2A、映射证明映射:单射:元不同,像不同;或者像相同,元相同。满射:像集合中每个元素都有原像。Remark:映射满足结合律!卡氏积与代数运算{(a,b)∣a∈A,b∈B}此集合称为卡氏积,其中(a,b)为有序元素对,所以一般A*B不等于B*A、集合到自身得代数运算称为此集合上得代数运算。等价关系与集合得分类等价关系:1自反性:∀a∈A,a~a;2对称性:∀a,b∈R,a~b=>b~a∈R;3传递性:∀a,b,c∈R,a~b,b~c=>a~c∈R、Remark:对称+传递≠自反一个等价关系决定一个分类,反之,一个分类决定一个等价关系不同得等价类互不相交,一般等价类用[a]表示。群2、1半群半群=代数运算+结合律,记作(S,∘)Remark:i、证明代数运算:任意选取集合中得两个元素,让两元素间做此运算,观察运算后得结果就是否还在定义得集合中。ii、若半群中得元素可交换,即a∘b=b∘a,则称为交换半群。单位元半群中左右单位元不一定都存在,即使存在也可能不唯一,甚至可能都不存在;若都存在,则左单位元=右单位元=单位元。单位元具有唯一性,且在交换半群中:左单位元=右单位元=单位元。在有单位元得半群中,规定a0=e、逆元在有单位元e得半群中,存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。逆元具有唯一性,记作a-1且在交换半群中,左逆元=右逆元=可逆元。若一个元素a既有左逆元a1,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a得逆元。子半群设S就是半群,∅≠T⊆S,若T对S得运算做成半群,则T为S得一个子半群T就是S得子半群⇔∀a,b∈T,有ab∈T2、=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark:i、若代数运算满足交换律,则称为交换群或Abel群、ii、加群=代数运算为加法+交换群iii、单位根群Um={ε∈C|εm=1},数域P上全体n阶可逆(满秩)矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶得行列式为1得矩阵集合SL(n,p)、2、群=代数运算+结合律+左(右)单位元+左(右)逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b∈G,ax=b,ya=b有解3、群得性质i、群满足左右消去律ii、设G就是群,则∀a,b∈G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii、e就是G单位元⇔e2=eiv、若G就是有限半群,满足左右消去律,则G就是一个群4、群得阶群G得阶,即群G中得元素个数,用|G|表示。若为无限群,则|G|=∞。Remark:i、克莱因四元群就是一个Abel群ii、四阶群只有克莱因四元群与模4得剩余类群2、3元素得阶1、定义:设G就是一个群,a∈G,使得am=e成立得最小正整数m称为元素a得阶,记作|a|=m;若m不存在,则a=∞2、阶得性质①G就是一个群,a∈G,|a|=m,an=e⇔m|n;ah=ak⇔m|h-k;e=a0,a1,a2,……am-1两两不同;★∀r∈Z,|ar|=mr,mRemark:i、∀r∈Z,|ar|=m⇔(m,r)=1;ii、若m=st,s,t∈N,则|as|=t、②a=∞,an=e⇔n=0;ah=ak⇔h=k;……a-2,a-1,a0,a1,a2……两两不等∀r∈Z\{0},|ar|=∞、Remark:若|a|<∞,|b|<∞,则|