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近世代数知识点
第一章 基本概念
集合
A的全体子集所组成的集合称为 A的幕集，记作2A.
映射 证明映射： 单射：元不同，像不同；或者 像相同，元相同。 满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark：
映射满足结合律！
卡氏积与代数运算
{ (a,b )1 a € A,b € B }此集合称为卡氏积，其中(a,b )为有序元素对，所以一般 A*B
不等于 B*A.
集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

等价关系与集合的分类
★
等价关系： 1 自反性：
?a € A,a a;
2 对称性：
?a,b € R, a
b=>b a€ R;
3 传递性：
?a,b,c € R,a
b,b c =>a c€ R
Remark：对称+传递工自反
★ 一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系
★ 不同的等价类互不相交，一般等价类用 [a] 表示。
第二章 群
半群
1. 半群=代数运算 +结合律，记作( S, )
Remark: i. 证明代数运算： 任意选取集合中的两个元素， 让两元素间做此运算， 观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii. 若半群中的元素可交换，即 a b=b a, 则称为交换半群。
2. 单位元
i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能 都不存在；若都存在，则左单位元 =右单位元 =单位元。
ii. 单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元 =右单位元 =单位元
iii. 在有单位元的半群中，规定 a0=e.
3. 逆元
i. 在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii. 逆元具有唯一性，记作 a-1 且在交换半群中，左逆元 =右逆元 =可逆元。
iii. 若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆
元。
4. 子半群
i. 设S是半群，工T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个 子半群
ii. T是S的子半群 ？a,b T,有ab T
群
1 ．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元 Remark： i . 若代数运算满足交换律，则称为交换群或 Abel 群.
ii. 加群=代数运算为加法 +交换群
iii. 单位根群Um={ m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩
阵集合 GL（n,P）, 数域 P 上全体 n 阶的行列式为 1 的矩阵集合 SL（n,p）.
2. 群=代数运算 +结合律 +左（右）单位元 +左（右）逆元 = 代数运算 +结合律 +单位元+逆元
= 代数运算 +结合律 +?a,b G,ax=b,ya=b 有解
3. 群的性质
i. 群满足左右消去律
ii. 设G是群，则?a,b Gax=b,ya=b在G中有唯一解
iii. e 是 G单位元 e 2=e
iv. 若G是有限半群，满足左右消去律，则 G是一个群
4.