自动根轨迹法控制原理根轨迹法.ppt

自动根轨迹法控制原理根轨迹法
1 根轨迹法的基本概念
根轨迹的定义
典型结构图
。
其中,
,
(i=1,2,┅,m)和
分别为控制系统的开环有限零点和极点。对于实际系统,一般
≥
(j=1,2,┅,n)
根轨迹法
系统闭环传递函数为
闭环特征方程为
根据已知的开环零、极点的位置,假设系统某个参数(这里设为
)从0~∞连续变化,闭环特征根在S复平面上变化移
动形成的轨迹称为系统的根轨迹。
根轨迹法就是利用根轨迹图来分析和设计系统。
作为可变参数画根轨迹称为常规根轨迹,这是一
以参数
般情况。如果以其它参数画根轨迹,则称为广义根轨迹。
根轨迹的幅值和辐角条件
根轨迹法
闭环特征根可根据特征方程式
确定。
将其改变形式得
称为根轨迹放大系数,
为开环有限零点,共有m个;
为开环极点,共有n个。一般
≥
。
假设
时,出现特征根
,则它必须满足上式,即
当
从0~∞连续变化时,对应一个
值,必然有特征根s
与之对应。令特征根为复数形式即
代入特征方程式,
要使方程式成立,须方程两边幅值和辐角分别相等,即
式中,
为开环有限零点
到闭环特征根
所引矢量的长度;
根轨迹法
为开环有限极点
到闭环特征根
所引矢量的长度。
上式称为闭环特征方程式的幅值条件。
根轨迹法
式中,
为开环有限零点
到闭环特征根
所引矢量的辐角;
为开环有限极点
到闭环特征根
所引矢量的辐角。
上式称为闭环特征方程式的辐角条件。
满足上辐角条件的根轨迹称为
根轨迹。
绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则

闭环特征方程可写成:
对于实际的控制系统,一般有
根轨迹法
根轨迹是系统某一参数从零变化到无穷大时,闭环特征方
与闭环特征方程根的数目相等。
复平面上变化的轨迹。因此,根轨迹的分支数必然
程的根在
闭环特征方程根的数目等于
和
大者。
根据上特征方程,
中的
结论:根轨迹分支数等于开环有限零点和开环极点数目中的大者。
≥
,此时,根轨迹分支数
等于开环极点数目。
根轨迹是对称于实轴的。
根轨迹法

根轨迹的起点就是当根轨迹放大系数
时闭环极点在
复平面上的位置。根轨迹的终点就是当根轨迹放大系数
时闭环极点在
复平面上的位置。
根据闭环特征方程式,将
代入,此时等效的闭环特征
方程为
满足此式的S就是Kg=0的特征根。也就是开环的极点。
结论:根轨迹的起点就是开环极点。
根据闭环特征方程式,将
代入,得此时等效的闭环
特征方程为
”表示开环极点的位置,
根轨迹法
时,闭环极点就是开环零点。对于
的系统,有m个
个闭环极点
,都将趋于无限远(称为开环无限零点)。
开环有限零点决定了m个闭环极点的位置,还有
随着
结论:根轨迹的终点就是开环零点。

设系统的开环零、极点分布如图。
符号“
”表示开环零点的位置,符号“
”表示闭环极点(即闭环特征根)的位置。
符号“
实轴上根轨迹判断图
根轨迹法
现在要判断实轴上某一点(设
点)是否在根轨迹上。根据
点引矢量,计算其辐角,代入辐角条件,得
前面讨论可知,根轨迹上的点必须满足辐角条件。从各开环零、
极点向实轴上
满足辐角条件,故
为根轨迹上的点。
同理,在
的实轴区间上的点均满足辐角条件,故
此区间存在根轨迹。
根轨迹法
确定实轴上根轨迹存在区间的依据:在实轴上根轨迹存在区间的右侧,开环有限零点和开环极点数目总和为奇数。

渐近线的倾角:
),则所有开环有限零点
假设无限远处有一特征根
(该点是根轨迹的终点,也是渐近
到特征根
所引矢量的辐角均相等,即
线上的点。在该点上,
和开环极点
即为渐近线的倾角。
对于无限远处的特征根
,应满足辐角条件,即