第二节初等方阵
初等方阵的定义
由单位矩阵经过一次的初等变换得到的方阵称为初等方阵.
定义3
三个对行的初等变换对应着三个初等方阵.
(1)互换E的i,j两行所得矩阵,记为
←第i行
←第j行
第三章初等变换与线性方程组
←第i行
(2)用任意k≠0去乘E的第i行所得矩阵,记为
(3)把E的第i行乘以k加于第j行所得矩阵,记为
←第i行
←第j行
三个对列的初等变换也对应着三个初等矩阵,分别记为:
第i列
第j列
第i列
第j列
第i列
用初等方阵左乘(或右乘)任意矩阵,可达到对其进行同类
型初等行(或列)变换一样的效果,现以任意3×
三个3阶行初等矩阵设为:
实现了A的第1,2行对换
实现了A的第3行乘k
实现了A的第3行乘k加于第1行
同样地,再设三个4阶列初等方阵为:
则
实现了A的第2,3列互换
同样地,再设三个4阶列初等方阵为:
则
实现了A的第2列乘k
同样地,再设三个4阶列初等方阵为:
则
实现了A的第1列乘k加于第3列
由上面的例子可得下面重要定理.
设A为任意m×n阶矩阵,对A的行施以某种初等行变换的结果相当于用同种的m阶初等方阵去左乘A;:
定理1
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