随机数与几何概型.ppt

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（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.
，事件A的概率的计算公式如下：
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P(A)=
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构成事件A的区域长度(面积或体积)
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试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
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考 点
直接求测度（求长度，面积或体积）计算几何概型
1
方法点拨：正确求出构成事件A的区域和试验全部结果所构成的区域的测度（长度，面积或体积），是几何概型的关键.
自学范例1 ①取一根长为3m的绳子，拉直
后在任意位置剪断，求剪得两段的长都不小
于1m的概率.
②取一个边长为2a的正方形及其内切圆，如
右图，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
③在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？
分析 线段、平面图形和立体图形的相应测度分别是长度,,要注意对基本事件等可能性的判断.
解析 ①如右图所示，记“剪得两段绳子都
不小于1m”，于是
当剪断位置处在中间一段的绳时,事件A发
生,由于中间一段的长度等于绳长的 ，所以事件A发生的概率为
②记“豆子落入圆内”为事件A. 则
③记“取出10毫升种子，其中含有麦锈病种子”为事件A，则
, .
【点评】“几何概型”的难点在于怎样把随机事件的总体和随机事件A 都转化为与之对应的区域的测度.
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名师点题1 ①一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m,宽为20m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.
解：如图区域 表示长30m，宽20m的
长方形，记“海豚嘴尖离岸边不超过2m”
为事件A。则
A
B
3
2
3
1
1
2
②如下图所示，有两个独立的转盘A、B，两个图中三个扇形区域的圆心角分别为 ，用这两个转盘玩游戏，规则是：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不会动，当指针恰好落在分界线时，则这次结果无效，重新开始），记转盘A指针对的数为x, 转盘B指针对的数为y, 求 且 的概率.
拓展变式1 两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率.
解析：设“等待的时间不多于10分钟”为事件A，我们所关心的事件恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的概率公式可得
典例1 某人午觉醒来, 发现表停了, 他打开收音机想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.（假定电台是整点报时）.
即“等待的时间不多于10分钟”的概率为
考 点
借助解析几何，找出平面区域计算几何概型
2
自学范例2 甲、乙两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时即离去，试求这两人能见面的概率.
分析 引入变量x, y，,再求出需要的面积即可.
解析 这是一个含有无限多个“等可能”的基本事件的概率模型，可以用几何概型来计算其概率.
以x、y分别表示两人到达时刻，则会面的充要条件为
【点评】将实际问题转化为几何概型的问题，要先选取适当的变量x, y，根据题意写出必须满足的代数条件，再转化用图形表示.
解析 可能的结果的全体是边长为60的正方形里的点（如下图）,
o
20
40
20
60
40
60
能会面的区域用阴影标出, 故所求概率：
拓展变式2 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.
如果甲船和乙船的停泊时间都是4h，求它们中的任何一艘船不需要等待码头空出的概率；
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如果甲船的停泊时间为4h，乙船的停泊时间为2h，求它们中的任何一艘船不需要等待码头空出的概率.
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