85第二型曲面积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

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.
经典双侧曲面
8-5 第二型曲面积分
1. 双侧曲面
动点在双側曲面上连续移动(不跨越曲面边界)并返回到起始点时,其法向量指向不变.
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曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
• 曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
曲面分左侧和右侧
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经典单侧曲面:
莫比乌斯带
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对坐标曲面积分，必须指定曲面侧．能够经过曲面上法向量指向来定出曲面侧．如曲面z=z(x,y),若它法向量n指向朝上，就认为取定曲
面上侧；对于闭合曲面，若取它法向量指向朝外，则认为取定曲面外侧。.
通常碰到曲面都是双侧曲面.
方向余弦
> 0 为前侧
< 0 为后侧
封闭曲面
> 0 为右侧
< 0 为左侧
> 0 为上侧
< 0 为下侧
外侧
内侧
侧要求
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• 设 S 为有向曲面,
其面元
在 xOy 面上投影
面积为
则要求
类似可要求
曲面元素投影
记为
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2. 第二型曲面积分概念
实例: 流向曲面一侧流量.
设有一河道，并假定河道中每一点水流速度与时间无关，(x,y,z)处水流速度向量为
由假定在河道中有一双侧曲面S，.
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第7页
现在考虑不是平面闭区域而是一片曲面，且流速
是变量.
1. 分割
则该点流速为
单位法向量为
把曲面S分成
n
小块
(
,
第
i
小块曲面面积）
同时也表示
在
上任取一点

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3. 求和
经过S流向指定侧流量
该点处曲面S单位法向量
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.
得到流量 m 准确值
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