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－ 3 4
4 3
－ 4 3 解析：由 a∥b，∴3cosα =4sinα .∴tanα = 3 . 4 答案：A 假设 ABCD 为正方形，E 是 CD 的中点，且 AB =a， AD =b，则 BE 等于 b+ 1 a 2 + 1 b 2 － 1 a 2 － 1 b 2
解析： BE = AE － AB = AD + DE － AB = AD + 1 2
AB － AB =b－ 1 a. 2 答案：B 、e 是不共线的向量，a=e +ke ，b=ke +e ，则 a 与 b 共线的充要条件是实数k 等于 1 2 1 2 1 2 B.－1 C.－2 解析：a 与 b 共线Û 存在实数 m，使 a=mb， D.±1 即 e +ke =mke +me .又 e 、e 不共线， 1 2 1 2 1 2 ∴ ì mk = 1， í î m = k . 答案：D ∴k=±1. a=“向东走 8 km”，b=“向北走 8 km”，则｜a+b|= ，a+b 的方向是 . 64 + 64 2 解析：|a+b|= =8 〔km〕. 2 答案：8 ●典例剖析 km 东北方向 【例 1】 向量 a、b 满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于 2 5 6 B. C. D. 剖析：欲求|a+b|，一是设出 a、b 的坐标求，二是直接依据向量模计算. 解法一：设a=〔x ，y 〕，b=〔x ，y 〕，则 x 2+y 2=1，x 2+y 2=4，a－b=〔x －x ，y －y 〕， x x ∴〔 － 1 2 1 y 〕2+〔 1 1 2 2 y — 〕2=4. 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ∴x 2－2x x +x 2+y 2－2y y +y 2=4. y x 1 1 2 2 1 1 2 2 x ∴1－2 1 2－2 1y2 =0.∴2 +2 x y x 1 2 1 =1. y 2 x x ∴〔 + 1 2 〕2+〔 y 1 + 〕2=1+4+2 +2 y x y x 2 1 2 1 =5+1=6. y 2 6 ∴|a+b|= . 解法二：∵|a+b|2+|a－b|2=2〔|a|2+|b|2〕， ∴|a+b|2=2〔|a|2+|b|2〕－|a－b|2 =2〔1+4〕－22=6. 6 ∴|a+b|= .应选 D. 此题也可以利用“解斜三角形”的方法进展处理. 深化拓展 【例 2】 如图，G 是△ABC 的重心，求证：GA + GB + GC =0. A G B C D E 剖析：要证 GA + GB + GC =0，只需证GA + GB =－ GC ，即只需证 GA + GB 与GC 互为相反的向量. 证明：以向量 GB 、GC 为邻边作平行四边形 GBEC，则GB + GC = GE =2 GD .又由 G 为△ABC 的重心知 AG =2 GD ，从而GA =－2 GD . ∴ GA + GB + GC =－2 GD +2 GD =0. 评述：，能进一步加深对“向量”的生疏，并能体会用向量处理问题的优越性. 深化拓展 此题也可用向量的坐标运算进展证明. 【例 3】 设OA 、OB 不共线，点 P 在 AB 上，求证： OP =λ OA +μ OB 且λ +μ =1， λ 、μ ∈R. 剖析：∵点 P 在 AB 上，可知 AP 与 AB 共线，得 AP =t AB .再用以 O 为起点的向量表示. 证明：∵P 在 AB 上，∴ AP 与 AB 共线. ∴ AP =t AB .∴OP － OA =t〔 OB － OA 〕. ∴ OP = OA +t OB －t OA =〔1－t〕OA +t OB . 设 1－t=λ ，t=μ ，则OP =λ OA +μ OB 且λ +μ =1，λ 、μ ∈R. 评述：本例的重点是考察平面对量的根本定理，及对共线向量的理解及应用. ①此题也可变为OA ，OB 不共线，假设OP =λ OA +μ OB ，且λ +μ =1，λ ∈R，μ ∈R， 求证：A、B、P 三点共线. 提示：证明 AP 与 AB 共线. 深化拓展
②当λ =μ = 1 时， OP = 1 〔 OA + OB 〕，此时 P 为 AB 的中点，这是向量的中点公式. 2 2 【例 4】 假设 a、b 是两个不共线的非零向量〔t∈R〕. 假设 a 与 b 起点一样，t 为何值时，a、tb、1 〔a+b〕三向量的终点在始终线上? 3 假设|a|=|b|且 a 与 b 夹角为 60°，那么 t 为何值时，|a－tb|的值最小? 解：〔1〕设 a－tb=m［a－ 1 〔a+b〕］〔m∈R〕， 3 化简得〔 2 m 3 －1〕a=〔 m 3 －t〕b. ∵a 与 b 不共线， ì 2 m
- 1 = 0 ì m = 3 ， ∴ ï 3 Þ ï 2 í m í 1 ï - t = 0 ït = . ïî 3 ∴t= 1 2 îï 2 时，a、tb、 1 〔a+b〕的终点在始终线上. 3 〔2〕|a－tb|2=〔a－tb〕2=|a|2+t2|b|2－2t|a||b|cos60°=〔1+t2－t〕|a|2，∴t= 1 2 时，|a－tb| 有最小值 3 2 |a|. 评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题. 思考争论 两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样? ●闯关训练夯实根底 1.〔2025 年广东，1〕平面对量 a=〔3，1〕，b=〔x，－3〕且 a⊥b，则 x 等于 C.－1 D.－3 解析：由 a⊥b，则 3x－3=0，∴x=1. 答案：B 假设 a、b 为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有 ∥b 且 a、b 方向一样 =b =－b 解析：a、b 为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，∴a∥b 且方向一样. 答案：A 在四边形 ABCD 中， AB － DC － CB 等于 A. AC B. BD C. AD D. AC 解析： AB － DC － CB = AB － DB = AB + BD = AD . 答案：C 设四边形 ABCD 中，有DC = 1 2
的夹角为π. ∴t 的取值范围是〔－7，－ 思考争论 14 〕∪〔－ 14 2 2 ，－ 1 〕. 2 向量 a、b 的夹角为钝角，则cos〈a，b〉＜0，它们互为充要条件吗? 培育力量 向量 a=2e －3e ，b=2e +3e ，其中 e 、e 不共线，向量 c=2e －9e .问是否存在这 1 2 1 2 1 2 1 2 样的实数λ 、μ ，使向量 d=λ a+μ b 与 c 共线? λ 解：∵d= 〔2e 1 －3e 2 〕+ 〔2e μ 1 +3e 〕 2 1 2 =〔2λ +2μ 〕e +〔－3λ +3μ 〕e ， 要使 d 与 c 共线，则应有实数 k，使 d=kc， 即〔2λ +2μ 〕e +〔－3λ +3μ 〕e =2ke －9ke ，由ì 2 l + 2 m = 2 k， 得λ =－2μ . î 1 2 1 2 í- 3l + 3 m = - 9 k， 故存在这样的实数λ 、μ ，只要λ =－2μ ，就能使 d 与 c 共线. 如下图，D、E 是△ABC 中 AB、AC 边的中点，M、N 分别是 DE、BC 的中点， BC =a， BD =b，试用 a、b 分别表示DE 、CE 和 MN . A D M E B N C 解：由三角形中位线定理，知 DE 1 BC. 2 故 DE = 1 2
BC ，即 DE = 1 a. 2
CE = CB + BD + DE =－a+b+ 1 2 a=－ 1 2 a+b，
MN = MD + DB + BN = 1 2
ED + DB + 1 2
BC =－ 1 4 a+ 1 2 a－b= 1 4 a－b. 探究创 在△ABC 中，AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，BN 与 CM 交于点 E， AB =a， AC =b， 用 a、b 表示 AE . A N M E C 解：由得 AM = 1 3
AB ， AN = 1 4 B AC .
设 ME =λ MC ，λ ∈R，则 AE = AM + ME = AM +λ MC . 而 MC = AC － AM ， ∴ AE = AM +λ 〔 AC － AM 〕 = 1 AB +λ 〔 AC － 1 3 3 AB 〕. ∴ AE =〔 1 － l 3 3 〕 AB +λ AC . 同理，设 NE =t NB ，t∈R，则 AE = AN + NE = 1 4 AC +t NB = 1 4 AC +t〔 AB － AN 〕 = 1 AC +t〔 AB － 1 4 4 AC 〕. ∴ AE =〔 1 － t 4 4 〕 AC +t AB . l 1 ∴〔 － 3 3
〕 AB +λ AC =〔 1 － t 4 4
〕 AC +t AB . ì 1 - l
= t， í 由 AB 与 AC 是不共线向量，得 ï 3 3 ï 1 t l = - ， ïî 4 4 ìl = 2 ，
解得 ï 11 ∴ AE = 3 AB + 2 AC ， í 3 11 11 ït = . îï 11 即 AE = 3 11 a+ 2 b. 11 评述：此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为简单，，增加关心量来理清向量之间关系是“探究”之所在，即对根本定 理的深化及应用. ●思悟小结 ，. 共线向量和平面对量的两条根本定理，提醒了共线向量和平面对量的根本构造，它们是进一步争论向量的根底. 对于两个向量平行的充要条件： a∥b Û a=λ b，只有 b≠0 b=0 时，a∥b 是 a=λ b 的必要不充分条件. ，从而可用“数”来证明“形”的问题. 、分析、归纳、抽象的思维力量. ●教师下载中心教学点睛 本课复习的重点是：理解向量的根本概念，把握向量的加法、减法运算，把握实数与向量的积的运算. 复习时要构建良好的学问构造. 向量的加法、减法运算既要留意几何运算，又要留意代数运算. 强化数学思想的教学，尤其是数形结合思想、化归思想等. 拓展题例 【例题】 对任意非零向量 a、b，求证：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. 证明：分三种状况考虑. 〔1〕当 a、b 共线且方向一样时，|a|－|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|－|b|=|a－b|＜|a|+|b|. 当 a、b 共线且方向相反时，∵a－b=a+〔－b〕，a+b=a－〔－b〕，利用〔1〕的结论有||a|－|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|－|b|＜|a－b|=|a|+|b|. 当 a，b 不共线时，设OA =a，OB =b，作OC = OA + OB =a+b， BA = OA － OB =a －b，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得 ||a|－|b||＜|a±b|＜ |a|+|b|. 综上得证.
