奇异值分解与极分解.ppt

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哈尔滨工程大学理学院应用数学系
目 录
0 1
矩阵的分解
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的观点。
0 2
第 四 章
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设 ， 是 的特征值， 是 的特征值，它们都是实数。如果记
§ 矩阵的奇异值分解与极分解
一,矩阵的奇异值分解
因为 与 都是半正定的Hermite-矩阵
特征值 与 之间有如下关系。
定义1:我们称:
为矩阵 的正奇异值，简称奇异值。
定理1：设 ，那么
即: 与 的非零特征值相等.
例1 ：求下列矩阵的奇异值
解： （1）由于
显然 的特征值
为5，0，0，所以
的奇异值为
（2）由于
显然 的特征值为2，4，所以 的奇异
值为 。
定义2:设 , 若
则称A与B酉等价.
定理2:若 , 且酉等价, 则A与B有相同的正
奇异值
定理3：设 ， 是 的 个奇异值，那么存在 阶酉矩阵 和 阶酉矩阵 使得
其中，
且满足
我们称此定理为奇异值分解定理。
称表达式
为矩阵 的奇异值分解式。
如何求此分解表达式？以下给出步骤:
证明：记 的特征值为
01
因为 是正规阵，所以
02
令 ，
其中 是 矩阵， 是 矩阵。则：
03
比较后得到：
………（1）
………（2）
………（3）
………（4）