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一、格林（Green)公式及其应用
D
y
x
o
等价条件
B
A
如果在区域D内,
则称曲线积分
否则与路径有关.
在D内与路径无关,
有
积分与路径无关时, 曲线积分可记为
说明:
定理2 设D是单连通域,
在D内具有一阶连续偏导数,
(1)沿D 中任意光滑闭曲线C,有
(2)对D中任一分段光滑曲线L, 曲线积分
(3)
(4)在D 内每一点都有
与路径无关, 只与起止点有关.
函数
则以下四个条件等价:
在D内是某一函数
的全微分,
即存在可微函数 使
证明
G
y
x
o
B
A
C
即
故积分与路径无关.
有
采用循环方式：
得
(封闭曲线)
设
取起点为定点
与路径无关,只与起终点有关.
终点为动点
只须证
与路径无关
由积分中值定理
偏增量
定积分
的偏导数存在，
同理可证：
因 可微，
因 连续，
偏导数连续，从而相等，
于是
有
故 的二阶混合
由格林公式，对任何闭曲线C，它所围成
的区域为D,有
证毕.
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